Função quadrática: o que é, como calcular e resumo completo

Você é daquelas pessoas que acham que a função quadrática, ou função do segundo grau, é um bicho de sete cabeças e que irá assombrar seus sonhos até o próximo vestibular? É com toda certeza que eu digo que você está enganado, jovem Padawan!

Nesta publicação, você verá um resumo SUPER completo sobre conceitos, fórmulas e várias dicas de como construir um pensamento matemático para resolver questões sobre o assunto quando surgirem nos vestibulares.

Prepare-se para entrar no mundo das funções quadráticas, das parábolas e dos problemas de otimização! 🚀

O que é uma função do segundo grau?

Antes de mergulharmos nas fórmulas e gráficos, é importante entender o que é uma função quadrática ou função do segundo grau.

Em sua essência, a função quadrática é uma função matemática do tipo \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) cuja lei é dada pela equação polinomial do segundo grau \( f(x) = a x^2 + b x + c \) onde \( x \) é nossa variável e \(a, b\) e \(c\) são constantes reais chamadas coeficientes \( \left( \mathbb{R} \right) \).

📈 Chamamos as funções quadráticas de função do segundo grau em função do polinômio que representa ela ser do segundo grau.

Raízes de uma função quadrática

No caso das funções de primeiro grau, nossas retas encontravam o eixo \(x\) uma única vez. Já nas funções quadráticas, o comportamento pode ser bem diferente, possibilitando encontrar uma vez, duas vezes, ou até mesmo nenhuma vez.

Fórmula de Bhaskara (Fórmula resolutiva da equação do segundo grau)

Em vez de nos preocuparmos quantas vezes a função irá encontrar o eixo \(x\), vamos entender como encontrar esses pontos. Sabemos que as raízes das funções são os pontos nas quais \(f(x) = 0\). Nesse caso:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0 \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{c}{a}\]

Imagine agora que você tem um quadrado, que falta um pedaço. Na Matemática, por mais que às vezes dê essa impressão, nada aparece ou desaparece do nada.

Como não temos esse pedaço do quadrado, precisamos completar o quadrado, esse procedimento é muito importante. Basicamente, iremos somar um \(0\), só que com uma cara diferente.

Você concorda que \(\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} = 0\)? E se somar \(0\) a qualquer coisa, nada irá se alterar? Mas fazer esse processo dará uma nova aparência à equação, que irá facilitar muito o processo.

\[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = - \dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

Parece que algo já está tomando forma, não é mesmo? Relembrando agora um pouco as propriedades de potências, temos que a operação inversa da potência quadrada é a raiz quadrada, assim:

\[ x + \dfrac{b}{2a} = \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 -ac}}{2a} \\ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Esta fórmula é amplamente conhecida como fórmula de Bhaskara. Nada mais é do que uma maneira de "isolarmos" \(x\) em nossa função quadrática quando igualada a zero.

É claro que você não irá fazer esse processo toda vez que uma função de segundo grau aparecer, mas é interessante ver pela primeira vez, pois fornece técnicas e ferramentas que podemos aplicar em vários problemas de Matemática.

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Quem foi Bhaskara?

Vamos fazer uma breve pausa nas equações e viajar um pouco pela História! Uma curiosidade interessante sobre a fórmula é que ela é conhecida por esse nome apenas no Brasil.

Não estamos aqui para tirar o mérito do grande matemático indiano Bhaskara Akaria (1114 - 1185), mas devido a um erro propagado nos livros didáticos por volta dos anos 60, Bhaskara acabou levando crédito por essa fórmula.

Existem registros históricos dos povos babilônicos, há quase quatro mil anos, de textos que se tinha uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.

Outro ponto que reafirma isso é que, até o fim do século 16, não se usavam fórmulas para resolver equações do segundo grau, pelo fato de ainda não utilizarem letras para representar coeficientes de uma equação.

Estudo do delta \((\Delta)\)

Agora voltando às fórmulas, repare que, dentro da raiz, temos uma expressão que reflete o comportamento da função quadrática. Considere que \( \Delta = b^2 - 4ac \). Você lembra que, anteriormente, não nos preocupamos com a quantidade de raízes, mas sim como encontrá-las?

Através do estudo de sinal do \(\Delta \), iremos ter uma ferramenta fundamental para entender a quantidade de raízes que nossa função terá:

• Se \(\Delta > 0\): a função tem duas raízes;
• Se \(\Delta = 0\): a função tem uma raiz;
• Se \(\Delta < 0\): a função não tem raízes.

Gráfico da função de segundo grau

Na função do primeiro grau, os coeficientes têm um papel muito importante no comportamento gráfico. Como já era de se esperar, aqui não será diferente!

Observe que agora o gráfico é uma parábola. Ela pode ser mais aberta ou fechada, mais à direita ou à esquerda, mais alta ou mais baixa. A seguir, iremos caracterizar o comportamento da parábola conforme os parâmetros variam.

• \(a\) diz quão "aberta" e qual concavidade terá a função quadrática:
  
  • \(|a| > 1 \Longrightarrow \) será mais estreita, ou seja, tem uma taxa de crescimento alta;
  • \(0 < |a| < 1 \Longrightarrow \) Será mais aberta, ou seja, uma taxa de crescimento menor.

• Se \(a > 0\), o gráfico será côncavo para cima
• Se \(a < 0\), o gráfico será côncavo para baixo

O coeficiente \(b\) é um pouco mais complicado de explicar, mas é fácil de entender observando o seu comportamento.

Ele descreve um deslocamento "lateral" (mais precisamente, vai existir uma parábola suporte, onde o gráfico vai navegar por cima dela). Parece confuso, mas observe a imagem abaixo e você verá o que está acontecendo conforme o \(b\) altera seu valor entre números positivos e negativos.

E por último, mas não menos importante, temos o coeficiente \(c\), o coeficiente linear, que irá indicar a altura do gráfico e onde a função quadrática irá cortar o eixo das ordenadas \( (y) \). Quando \(c > 0\), a função do segundo grau encontra o eixo \(y\) na parte positiva. Já quando \( c < 0 \), a parábola encontra o eixo \(y\) na parte negativa.

Calculando os vértices da parábola

Como você observou nos gráficos acima, as funções quadráticas sempre têm um ponto onde mudam de comportamento, de um lado crescente e do outro decrescente, ou vice-versa.

Esse ponto se chama vértice da função quadrática, que é representado pelo ponto cartesiano \( (x_v, y_v) \). E aqui vamos tomar a liberdade poética de construirmos junto as fórmulas que representam o vértice.

Observe, na imagem abaixo, as duas raízes destacadas. Nosso vértice não parece estar exatamente na metade entre esses dois pontos?

Isso não é uma coincidência, devido à função quadrática ser simétrica em relação ao vértice (como se houvesse um espelho perpendicular ao vértice, que reflete a mesma imagem em ambos os lados).

Sendo assim, vamos calcular o ponto médio das raízes:

\[ x_v = \dfrac{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}}{2} \\ x_v = \dfrac{-b}{2a} \]

Observe também que a altura de \(x_v\) é exatamente a imagem \(f(x_v) = y_v\). Dessa forma:

\[ y_v = a \cdot \left( \dfrac{-b}{2a}\right)^2 + b \cdot \left( \dfrac{-b}{2a}\right) + c \\ y_v = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a} \\ y_v = -\dfrac{\Delta}{4a} \]

Soma e produto

Outro tópico muito abordado para encontrar raízes de funções do segundo grau é a famosa soma e produto, um caso particular para equações de grau dois das Relações de Gerard, na qual temos a seguinte disposição:

\[ \cases{x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}} \]

Onde \(x_1, x_2\) são as duas possíveis raízes de nossa função e \(a, b\) e \(c\) os já conhecidos coeficientes.

Observe que não precisamos decorar uma fórmula supercomplexa, apenas temos que pensar de forma lógica quais são os dois números que, ao somarmos e multiplicarmos, resulta no que desejamos.

Nossas dicas para resolver por soma e produto são:

• Resolva por soma e produto apenas quando \(\dfrac{-b}{a}\) e \(\dfrac{c}{a}\) forem números inteiros;
• Comece pela equação do produto. É mais fácil pensar em quais números multiplicados dão certo resultado do que pensar na soma, em função da decomposição por inteiros ser única.

Exemplo de soma e produto

Considere \( f(x) = x^2 -9x + 18 \). Agora, vamos encontrar as raízes dessa função, ou seja, quando \(f(x) = 0\). Temos então que \( \dfrac{-b}{a} = 9 \) e \( \dfrac{c}{a} = 18 \), onde podemos ver claramente que as divisões da nossa primeira dica estão satisfeitas.

Agora, vamos pensar em todas as formas que conseguimos escrever o número 18 como produto de dois números \( \{ \pm 1 \cdot \pm 18, \pm 2 \cdot \pm 9, \pm 6 \cdot \pm 3\} \). Esse conjunto são as possíveis raízes de nossa função do segundo grau (aqui, temos que considerar as opções negativas também, já que na multiplicação \(+ \cdot +\) e \(- \cdot -\) são positivos).

Resta agora testar qual delas satisfaz a equação da soma:

\[ 1 + 18 = 19 \neq 9 \\ 2 + 9 = 11 \neq 9 \\ 3 + 6 = 9 \]

Portanto, as raízes são \(x_1 = 3\) e \(x_2 = 6\).

📊 A ordem que escolhemos para quem será \(x_1\) e \(x_2\) não importa, é apenas mais usual escolhermos para \(x_1\) o menor número e para \(x_2\) o maior número, mas isso não é uma regra.

Resumo: Funções quadráticas

Para resumir o que aprendemos ao longo desse texto, vamos aplicar todos os conceitos em um exemplo. Considere a função \( f(x) = -x^2 + 5x - 4 \).

Primeiramente, vamos fazer uma análise sobre os coeficientes. Como \( a < 0 \), a parábola é concava para baixo. Outra análise é sobre o coeficiente \(c\), que é igual a -4, o que informa onde a parábola corta o eixo \(y\) no ponto \(A\) do gráfico acima.

Observe agora que ela está mais "à direita" do eixo \(y\). Quem vai ditar essa translação será o coeficiente \(b\), mas não pelo sinal dele ser positivo ou negativo, mas sim pela troca de sinal entre \(a\) e \(b\).

Quando esses dois coeficientes tiverem sinais trocados, a parábola estará à direita do eixo \(y\), e quando tiverem sinais iguais, estará à esquerda do eixo \(y\).

Para encontrar as raízes, podemos resolver tanto por Bhaskara ou soma e produto. Aqui, vamos resolver pela primeira opção:

\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) onde \( \Delta = b^2 - 4ac \).

É comum calcularmos o \( \Delta \) primeiro em função de precisarmos do valor dele para encontrar o \(x\), então \( \Delta = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 25 - 16 = 9 \). Assim,

\[ x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)} \\ x = \dfrac{-5 \pm 3}{-2} \]

Assim, nossas raízes são \(x_1 = \dfrac{-5 + 3}{-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1 \) e \(x_2 = \dfrac{-5 - 3}{-2} = \dfrac{-8}{-2} = 4 \)

Aplicação da função quadrática no dia a dia

Compreendido o conceito teórico, é hora de ver a função quadrática em ação. Por exemplo, imagine que você decidiu vender mousse de chocolate para complementar sua renda. \(x\) representa a quantidade vendida em litros e \(f(x) = -x^2 + 5x - 4\) representa o lucro obtido pelas vendas. Queremos encontrar o ponto de maior lucro.

Ou seja, sempre que algum problema estiver falando de máximo, mínimo, otimização... estamos interessados em encontrar o vértice de nossa parábola. Dessa forma:

\( x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{5}{2} = 2,5 l \) e ainda, \( y_v = \dfrac{-\Delta}{4a} = \dfrac{-(5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) )}{4 \cdot (-1)} = \dfrac{-9}{-4} = \dfrac{9}{4} = \text{R\$} 2,25 \).

Seguindo esses passos, você terá todas as informações importantes para resolver problemas de funções quadráticas, encontrando as raízes, vértices, e entendendo seus coeficientes.

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Como as funções do segundo grau caem no Enem e Vestibulares

Quando se trata dos principais vestibulares - como Fuvest, Unesp, Uepa e Uerj, etc -, temos questões muito técnicas e conteudistas. São questões que envolvem otimização e relacionam problemas de geometria e álgebra com funções do segundo grau. Para esses casos, recomendamos que pratique bastante as fórmulas e suas aplicações.

Agora, falando um pouco de Enem, temos uma prova que não exige do vestibulando um conhecimento tão aprofundado de fórmulas e aplicações, porém exige foco e destreza em questões de interpretação e aplicações.

Em muitas questões sobre funções quadráticas, não precisamos realizar todos os cálculos, pois a resposta se esconde em gráficos e informações nos longos enunciados de cada questão.

Assim, recomendamos que você esteja por dentro de todas as fórmulas e aplicações, mas também ciente de que nem sempre elas serão necessárias. Como a prova é uma corrida contra o tempo, realizar todas as operações de forma desnecessária pode prejudicar seu desempenho.

Exemplo 1

(Uece 2022) A função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde \(a, b, c \in \mathbb{R}\) constantes e \(a \neq 0\) são chamadas de funções quadráticas. Tais funções são frequentemente usadas para determinar valores máximos ou mínimos de situações concretas que podem ser modeladas matematicamente, como ocorre no seguinte problema:

Desejando-se cercar uma área retangular plana com um muro e sabendo que a extensão desse muro é 380 m, é correto afirmar que a medida, em \(m^2\), da maior área que pode ser cercada é

a) \( 8250 \)

b) \( 9025 \)

c) \( 10575 \)

d) \( 11750 \)

Resposta: [B]
Sejam \(x\) e \(h\) as dimensões da área retangular. Assim, tem-se que \( P = 2\cdot (x + h) = 380 \Rightarrow h = 190 - x \). A área é dada por
\[ A(x) = x \cdot h \\ A(x) = x \cdot (190 - x) \\ A(x) = -x^2 + 190x \]
Como mencionamos anteriormente, quando falamos em máximos e mínimos, queremos saber o vértice da parábola. E como queremos saber a área máxima, estamos procurando especificamente pelo \(y_v\), ou seja
\[ y_v = \dfrac{-\Delta}{4a} = \dfrac{-(190^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0)}{4 \cdot (-1)} = \dfrac{-36100}{-4} = 9025 \]

Exemplo 2

(Enem Digital 2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola \(y = T(x)\), com \(x\) sendo o número correspondente ao mês e \(T(x)\) em milhar de real. A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é

a) \(T(x)=-{{x}^{2}}+16x+57\)

b) \(T(x)=-\dfrac{11}{16}{{x}^{2}}+11x+72\)

c) \(T(x)=\dfrac{3}{5}{{x}^{2}}-\dfrac{24}{5}x+\dfrac{381}{5}\)

d) \(T(x)=-{{x}^{2}}-16x+87\)

e) \(T(x)=\dfrac{11}{16}{{x}^{2}}-\dfrac{11}{2}x+72\)

Resposta: [A]
Seja \(T(x) = ax^2 + bx + c\). Como o máximo ocorre no mês 8, vem \(T(4) = 105 = T(12)\) em função da parábola ser simétrica ao vértice. Além disso, se \(T(1) = 72\), então, substituindo esses valores, temos

\( \begin{cases} a + b + c = 72 \\ 16a + 4b + c = 105 \\ 144a + 12b + c = 105 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -1 \\ b = 16 \\ c = 57 \end{cases} \)

Em consequência, temos \(T(x) = -x^2 + 16x + 57\).

Esperamos que essa jornada pelo mundo das funções quadráticas tenha sido esclarecedora e até mesmo divertida para você ! Mas lembre-se de que esse é apenas o começo. A Matemática é um universo vasto e cheio de desafios instigantes.

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