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Função do primeiro grau: veja o guia completo para resolver questões

Entenda o que são funções do primeiro grau, como classificá-las e de que forma identificar seus coeficientes e tipos para arrasar no Enem e grandes vestibulares

18/01/2024

Mulher escrevendo fórmulas de função do primeiro grau em lousa verde com giz

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Função do primeiro grau, função afim ou função linear. Tantos nomes para tratar de um mesmo assunto, não é mesmo? Parece confuso, mas eu garanto que a partir de hoje, você vai entender tudo sobre esse tipo de função tão importante na jornada de estudos.

A gente vai saber qual o comportamento da função de primeiro grau, todas as formas em que ela se apresenta, como encontrá-la, sua representação gráfica e ainda, dicas infalíveis para...

Personagem Howard Wollowitz, de The Big Bang Theory fazendo uma trocadilho com a função afim e estar afim de alguém

... você se tornar um mestre no assunto!

NAVEGUE PELOS CONTEÚDOS

Definição de função do primeiro grau

Podemos entender a função como uma relação de dependência entre duas grandezas. Neste caso, uma função real do primeiro grau é definida por $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ onde $f(x) = a \cdot x + b$ e representada graficamente por uma reta. Agora, você deve estar se perguntando: "O que é esse monte de letras?". Então, vamos por partes!

$x$ é nossa variável, ela determinará o valor de $f$ para cada número que $x$ assumir;
$a$ é chamado de coeficiente angular, que define quão inclinada será nossa função;
$b$ é o coeficiente linear, que define onde a função corta o eixo $y$.

Durante nosso texto, você irá entender de forma geométrica quais são os papéis de $a$ e $b$.

Outros nomes da função do primeiro grau

Como explicamos lá no início, a função do primeiro grau também tem outros nomes. São eles:

Função afim: existem várias linhas de pensamento que tentam explicar esse nome, mas o termo "afim" vem do grego affīnis, que significa ter afinidade, semelhança ou ligação. Acredita-se que sua origem vem do fato de dois pontos definirem uma única reta, ou seja, estarem ligados. Mais ainda, o $a$ é diferente de 0;
Função linear: esse é apenas um caso particular da função do primeiro grau, onde $b = 0$;
Função constante: outro caso particular, onde $a = 0$. Ou seja, $f(x) = b$.

Coeficientes

Até agora, falamos muito sobre $a$ e $b$, porém ainda não explicamos os seus significados. Por isso, vamos mostrar na prática como eles se comportam geometricamente.

Coeficiente angular

O $a$ é chamado de coeficiente angular, pois está diretamente relacionado ao ângulo que o gráfico forma com o eixo $x$. $a$ é um número real ($\mathbb{R}$). Então, temos três opções de valores para ele:

$a > 0$;
$a = 0$;
$a < 0$.

Para cada uma dessa opções, há três representações gráficas, e o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta. Dessa maneira, teremos os três possíveis casos ilustrados a seguir:

Três planos cartesianos exemplificando o coeficiente angular da função do primeiro grau. O primeiro é a maior que zero, em que a reta atravessa o zero no eixo x e y. O segundo gráfico é uma reta horizontal cruzando o número um positivo no eixo y, representando a igual a zero. O terceiro gráfico representa a menor do que zero. A reta corta os pontos um positivo no eixo y e um positivo no eixo x

Coeficiente linear

O $b$ é o coeficiente linear ou termo independente. Ele é independente porque não é multiplicado por $x$ (na verdade, é, mas se trata de um $x^{0} = 1$. No entanto, não vamos nos prender a esse detalhe 🤫). Outra característica muito importante do coeficiente linear é informar onde a reta corta o eixo $y$. Ele também é um número real ($\mathbb{R}$) e tem três possíveis valores:

$b > 0$;
$b = 0$;
$b < 0$.

Três gráficos representando o coeficiente linear na função do primeiro grau. O primeiro gráfico representa b maior do que zero, marcando ponto zero um no eixo y. O segundo gráfico mostra b igual a zero, identificando o ponto zero zero no eixo y. O terceiro gráfico mostra b menor do que zero, mostrando o ponto zero um negativo no eixo y.

Como nosso gráfico está no plano ℝ², os pontos que pertencem à reta são da forma (x, y) = (x, ax + b). Assim, quando x = 0, temos o ponto (0, b), como você pode observar nos gráficos acima.

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Função crescente x função decrescente: entenda a diferença

Você deve ter reparado que, dependendo do valor do a, o gráfico tem um comportamento diferente. Isso se dá em função da taxa de crescimento da função. Vamos, então, definir o que são funções crescentes e decrescentes e apresentar a principal diferença entre elas.

Função crescente

Dizemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é crescente se, para cada $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ tal que $x_0 < x_1$, temos que $f(x_0) < f(x_1)$.

Parece ser algo de outro mundo não é mesmo? Mas é mais fácil do que você imagina!

Para as funções afim, precisamos avaliar o sinal do $a$. Então, quando uma função afim for crescente, o $a > 0$. Basicamente, o que essa definição diz é: se pegarmos dois números em nosso eixo $x$, onde o primeiro é menor que o segundo, o valor de $f(x)$ (ou seja, o valor em $y$) do primeiro será menor que o segundo.

Observe que aqui estamos falando em maior e menor, no sentido literal e não em questão de tamanhos ou distâncias.

Gráfico de plano cartesiano mostrando uma função crescente. A reta atravessa quatro negativo no eixo y e dois positivo no eixo x — Função crescente.

No gráfico acima, considerando os valores de $x = 0$ e $x_1 = 2$, temos que $f(x_0) = -4$ e $f(x_1) = 2$. Em questões de tamanho, ou seja, distância até a origem, $-4$ é "maior" que $2$, pois $|-4| = 4 >2$. Mas isso não será importante nesse momento para nós, pois queremos olhar para o valor de cada um com seus respectivos sinais. Sendo assim, $-4 < 2$ como já estamos acostumados.

Funções decrescentes

Uma função é dita decrescente quando para $x_0 < x_1 $ reais, temos que $f(x_0) > f(x_1)$

De forma análoga ao que fizemos com a função crescente, temos a mesma ideia para funções decrescentes. Agora, quanto maior forem os $x$'s, menores serão suas imagens. Também, ao tratarmos das funções do primeiro grau, temos que $a < 0$.

Exemplo de função decrescente do primeiro grau mostrando reta cruzando o eixo y no ponto três positivo e o eixo x no ponto um e meio positivo — Função decrescente.

Raiz (zero) da função: o que é e como calcular

Para encerrar com chave de ouro, vamos falar sobre o que são e como calcular as raízes de uma função.

Plano cartesiano mostrando reta cruzando o ponto dois vírgula zero no eixo x

A raiz de uma função, de forma geral, é o valor de $x$ no qual a função $f(x) = 0$ e a notação de pontos do espaço para as raízes será $(x, 0)$, como no exemplo acima. No caso das funções do primeiro grau, teremos a seguinte expressão:

\[ a \cdot x + b = 0 \\ a \cdot x = - b \\ x = \dfrac{-b}{a} \]

Com isso, temos uma expressão para encontrar as raízes de qualquer função afim. E não se preocupe, não precisa decorar essa fórmula, pois você sempre pode realizar o processo de isolar o $x$ (foi o que fizemos acima, porém sem números, de forma geral).

Mas e se $a = 0$? Bem, para realizar o processo acima, precisamos necessariamente que o $a$ seja diferente de 0, pois, caso ele seja igual a zero, teremos a seguinte situação: considere $a = 0$ e $b = -4$. Ao realizarmos o processo que descrevemos acima, chegaremos na seguinte equação:

\[ x = \dfrac{4}{0} \]

Agora, preciso perguntar a você: podemos dividir por 0? Se sua resposta for sim, tente dividir 4 balas entre 0 amigos, quantas balas cada amigo irá receber? Não tem como, né? Ou seja, não podemos dividir por 0.

Função constante e função nula

Quando nosso $a$ é igual a 0, dizemos que essa função é constante. Graficamente, ela será paralela ao eixo $x$, então só "terá" raízes se $b$ também for 0, ou seja, a função nula, que é igual a 0 para qualquer valor de $x$.

Gráfico mostrando função constante do primeiro grau. Reta horizontal cruza o número dois no eixo y — Função constante

Gráfico mostra representação da função nula do primeiro grau, mostrando reta horizontal na direção do eixo y e x zero — Função nula

Para finalizar, observe a imagem a seguir.

Representação de reta vertical no plano cartesiano paralela ao eixo y, cortando o número 2 positivo no eixo x

Na sua opinião, essa reta é uma função afim? Enquanto você reflete sobre o que perguntei, vamos relembrar o que é uma função em si:

Uma função é uma relação entre dois conjuntos, $A$ e $B$, denotada por $f: A \rightarrow B$ que obedece duas propriedades:

1. Todo elemento de $A$ está ligado a algum elemento de $B$, ou seja, ninguém fica de fora em $A$;
2. Cada elemento de $A$ se liga de forma única a alguém em $B$

Feitas essas considerações, vamos à resposta da pergunta que fiz aí em cima. Observe que a reta não existe para nenhum outro ponto além do $x = 2$, e não é esse nosso problema. Nosso verdadeiro problema está em termos infinitos números em $y$ associados ao coitado do 2 que tem que carregar o peso do mundo inteiro nas costas.

Termos infinitos números ligados a um único $x$ contraria nossa segunda observação, que diz que cada $x$ se liga de forma única a algum $y$. Portanto, essa reta não é uma função. Na verdade, essa reta é uma "curva", mas isso será cena para as próximas publicações!

Resumo

A função real do primeiro grau é definida por $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, onde $f(x) = a \cdot x + b$ é representado graficamente por uma reta;
Na função afim, dois pontos definem uma única reta. E o $a$ é diferente de 0;
A função linear é um caso particular da função do primeiro grau, onde $b = 0$;
Na função constante, $a = 0$. Ou seja, $f(x) = b$;
$a$ é o coeficiente angular, pois está diretamente relacionado ao ângulo que o gráfico forma com o eixo $x$;
$b$ é o coeficiente linear ou termo independente. Ele informa onde a reta corta o eixo $y$;
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função crescente se, para cada $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ tal que $x_0 < x_1$, temos que $f(x_0) < f(x_1)$;
Uma função é decrescente quando para $x_0 < x_1 $ reais, temos que $f(x_0) > f(x_1)$;
A expressão \[ a \cdot x + b = 0 \] é usada para encontrar as raízes de qualquer função afim;
Quando $a$ é igual a 0, dizemos que essa função é constante. Graficamente, ela será paralela ao eixo $x$, então só "terá" raízes se $b$ também for 0, ou seja, a função nula, que é igual a 0 para qualquer valor de $x$.

Como a função do primeiro grau aparece no Enem e nos vestibulares

Mão na massa! Agora é sua vez de colocar em prática tudo que aprendeu neste artigo. Então, papel e caneta na mão pra resolver os exercícios propostos e ver alguns exemplos de como a função do primeiro grau pode aparecer nos vestibulares.

Exemplo 1

(Unisinos 2017) João e Pedro alugaram o mesmo modelo de carro, por um dia, em duas locadoras distintas. João alugou o carro na locadora Arquimedes, que cobra R$ 80,00 a diária, mais R$ 0,70 por quilômetro percorrido. Pedro alugou na Locadora Bháskara, que cobra R$ 50,00 a diária, mais R$ 0,90 por quilômetro percorrido. Ao final do dia, João e Pedro pagaram o mesmo valor total pela locação.

a) 150 km e R$ 185,00

b) 160 km e R$ 192,00

c) 170 km e R$ 199,00

d) 180 km e R$ 206,00

e) 190 km e R$ 213,00

Resposta: [A]
Se n é o número de quilômetros rodados, então
\[ 0,9\cdot n + 50 = 0,7 \cdot n + 80 \ \Leftrightarrow 0,2 \cdot n = 30 \\ \Leftrightarrow n = 150km \]
Além disso, cada um pagou $0,9 \cdot 150 + 50 = R$ 185,00$
Assim, a resposta correta é a alternativa A.

Exemplo 2

(Enem 2016 - 2ª Aplicação) Um produtor de maracujá usa uma caixa d’água, com volume $V$, para alimentar o sistema de irrigação de seu pomar. O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão constante. Com a caixa d’água cheia, o sistema foi acionado às 7h da manhã de segunda-feira. Às 13h do mesmo dia, verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante na caixa é de 5% do volume total, para reabastecimento.

Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento?

a) Às 15h de segunda-feira

b) Às 11h de terça-feira

c) Às 14h de terça-feira

d) Às 4h de quarta-feira

e) Às 21h de terça-feira

Resposta: [E]
A taxa de variação do volume de água presente na caixa d'água é dada por
\[\dfrac{0,85−1}{13−7} = − 0,025 \]
Logo, se $p(t) = 1 − 0,025 \cdot t$ é a porcentagem do volume inicial de água, presente na caixa-d’água, após $t$ horas, segue que o dispositivo interromperá o funcionamento do sistema após um tempo $t$ dado por
\[0,05 = 1 − 0,025 \cdot t \Leftrightarrow t = 38 h\]
Portanto, como o sistema foi acionado às 7h da manhã de segunda-feira, a interrupção se dará às 21h de terça-feira.

Exemplo 3

Ana e Beatriz caminham em uma pista retilínea, na mesma direção e sentido, e com as respectivas velocidades constantes. Sabe-se que a posição de Ana, $P_A$, é dada por $P_A(t) = 200 + 25t$, que a posição de Beatriz, $P_B$, é dada por $P_B (t) = 500 + 20t$ e que o tempo $t$ é dado em minutos. Nessas condições, o tempo que Ana precisa para alcançar Beatriz é:

a) 60 minutos.

b) 45 minutos.

c) 25 minutos.

d) 20 minutos.

e) 40 minutos.

Resposta: [A]
Basta apenas igualar as funções para encontrar os pontos em comum. Assim:
\[ 200 + 25t = 500 + 20t \\ 5t = 300 \\ t = 60 \]
Com isso, Ana precisa de 60 minutos para alcançar Beatriz.

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