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Trigonometria: conceitos, fórmulas, aplicações e exercícios

A trigonometria deixa você de cabelos em pé? Neste artigo, reunimos tudo o que há de mais importante sobre o assunto - para não errar mais nenhuma questão!

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A trigonometria é uma área da Matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Sua aplicação vai além dos cálculos geométricos, já que ela é fundamental em campos como a Física, a Engenharia, a Astronomia e até mesmo a Música, sabia?

Entre os seus conceitos básicos estão as funções trigonométricas, que relacionam os ângulos de um triângulo com a proporção entre seus lados, além das funções seno, cosseno e tangente, cada uma com suas próprias fórmulas e propriedades.

A seguir, vamos nos aprofundar sobre a trigonometria e tirar todas as suas dúvidas a respeito dessa área tão importante da Matemática.

Trigonometria no triângulo retângulo

O principal estudo da trigonometria se baseia nos triângulos retângulos. Por meio deles, estabelecemos as principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. O triângulo retângulo possui um ângulo de 90º, ou seja, um ângulo reto (por isso, leva esse o nome).

Como em cada triângulo, os maiores lados estão opostos aos maiores ângulos, e no triângulo retângulo o maior ângulo de qualquer triângulo desse tipo é o de 90º. O lado oposto a ele chama-se hipotenusa, enquanto os demais lados, que formam o ângulo reto, são os catetos.

Mais adiante, ao olharmos para os ângulos agudos (por consequência do ângulo reto ser o maior ângulo desse tipo de triângulo), iremos chamá-los de cateto oposto e cateto adjacente.

Veja o exemplo de um triângulo retângulo:

Exemplo de um triângulo retângulo
Triângulo retângulo

No triângulo retângulo acima, os lados \( b \) e \( c \) são os catetos e o lado \( a \) é a hipotenusa.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Por definição, uma razão é uma divisão entre duas grandezas. Dessa forma, razões trigonométricas são divisões entre medidas do triângulo retângulo que irão definir nossas medidas trigonométricas ( \( sen, cos, tg \) ).

Para entendermos as três razões, usaremos o ângulo \( \alpha \), do triângulo retângulo da primeira imagem, como referência. Quando temos um ângulo de referência, nossos catetos ganham "sobrenome" e passam a ser chamados de cateto oposto, quando ele for oposto ao ângulo \( \alpha \), e cateto adjacente, quando estiver sendo tocado pelo ângulo \( \alpha \).

Nesse caso, os catetos opostos e adjacentes ao ângulo \( \alpha \) são, respectivamente, \( c \) e \( b \).

Seno

O seno é a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa, ou seja, em relação ao ângulo \( \alpha \) analisado, temos:

\[ sen \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto oposto (C.O.)}}{\text{hipotenusa (hip)}} \]

Cosseno

O cosseno, semelhante ao seno, é a razão que relaciona um cateto com a hipotenusa, porém, desta vez o cateto é o adjacente. Portanto, o cosseno é:

\[ cos \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto adjacente (C.A.)}}{\text{hipotenusa (hip)}} \]

Tangente

A tangente, diferentemente das outras duas razões diretas da trigonometria, é a razão que relaciona os dois catetos, sendo o oposto sobre o adjacente, assim:

\[ tg \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto oposto (C.O.)}}{\text{cateto adjacente (C.A.)}} \]

Além disso, ao dividirmos a razão seno pela razão cosseno, obtemos o mesmo resultado da tangente, que é:

\[ tg \left( \alpha \right) = \dfrac{sen \left( \alpha \right)}{cos \left( \alpha \right)} \]

Para memorizar as razões trigonométricas, indicamos o macete SOHCAHTOA. Você conhece?

Nele, a cada três letras, temos uma razão da trigonometria: SOH remete ao S de seno, O de oposto e H de hipotenusa. Enquanto isso, CAH lembra o C de cosseno, A de adjacente e H de hipotenusa. Por fim, em TOA, há o T de tangente, O de oposto e A de adjacente. Veja:

  • SOH: \( sen \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto oposto (C.O.)}}{\text{hipotenusa (hip)}} \)

  • CAH: \( cos \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto adjacente(C.A.)}}{\text{hipotenusa (hip)}} \)

  • TOA: \( tg \left( \alpha \right) = \dfrac{\text{cateto oposto (C.O.)}}{\text{cateto adjacente (C.A.)}} = \dfrac{sen \left( \alpha \right)}{cos \left( \alpha \right)} \)

Razões inversas da trigonometria

Já apresentamos as razões trigonométricas do triângulo retângulo. A partir daqui, então, mostraremos as razões trigonométricas inversas, que são justamente o inverso das razões da trigonometria - ou seja, o inverso de seno, cosseno e tangente.

Secante

A secante é a razão inversa do cosseno, então, é definida por:

\[ sec \left( \alpha \right) = \dfrac{1}{cos \left( \alpha \right)} = \dfrac{\text{hip}}{\text{C.A.}} \]

Cossecante

A cossecante, de forma análoga, é o inverso da razão seno, dessa maneira:

\[ cossec \left( \alpha \right) = \dfrac{1}{sen \left( \alpha \right)} = \dfrac{\text{hip}}{\text{C.O.}} \]

Cotangente

Por fim, a cotangente, por consequência, é a razão inversa da tangente e é definida por:

\[ cotg \left( \alpha \right) = \dfrac{cos \left( \alpha \right)}{sen \left( \alpha \right)} = \dfrac{\text{C.A.}}{\text{C.O.}} \]

Relações métricas no triângulo retângulo

Quando estudamos os triângulos na geometria plana, encontramos resultados importantes sobre as relações entre as medidas do triângulo retângulo e a projeção da altura relativa à hipotenusa.

Nesse contexto, o principal teorema trigonométrico abordado é o teorema de Pitágoras. Ele nos diz que em um triângulo retângulo, de hipotenusa a e catetos b e c, temos a seguinte relação:

a² = b² + c²

Além do teorema de Pitágoras, com a ajuda da semelhança de triângulos, foram descobertas algumas relações métricas do triângulo retângulo. Veja:

Relações métricas do triângulo retângulo

Sabendo as medidas, podemos afirmar que são válidas as seguintes relações:

  1. \( c^2 = a\cdot n \)
  2. \(b^2 = a\cdot m \)
  3. \(h^2 = m\cdot n \)
  4. \(a\cdot h = b\cdot c \)

Trigonometria para qualquer triângulo

Agora, mostraremos algumas manipulações algébricas com a ajuda da trigonometria e da geometria plana, que efetuaram a lei dos senos, cossenos e das áreas.

Lei dos senos

A lei dos senos relaciona os lados e os ângulos de um triângulo qualquer. A principal ferramenta usada para determinar essa lei é a manipulação geométrica do ângulo inscrito à circunferência. Na imagem abaixo, você pode ver um exemplo:

Triângulo qualquer inscrito em uma circunferência
Triângulo qualquer inscrito em uma circunferência

Acima, vemos o triângulo de lados \(a, b\) e \(c\) e ângulos \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) inscrito na circunferência de raio \(r\). Além disso, o diâmetro da circunferência inscrita que passa pelo vértice do ângulo \( \beta \) determina um novo triângulo, que mantém um ângulo igual a \( \alpha\) e um dos lados igual ao diâmetro da circunferência.

Com a ajuda da geometria plana, identificamos que esse novo triângulo é retângulo em \( \gamma + \gamma_1 \), ou seja, a soma dos ângulos \(\gamma\) e \(\gamma_1\) é 90 graus. Sendo assim, notamos que o valor do diâmetro \(2R\) é a hipotenusa e, por meio da razão seno, notamos a seguinte informação:

\[ sen \left( \alpha \right) = \dfrac{a}{2R} \Rightarrow \dfrac{a}{sen \left( \alpha \right)} = 2\cdot R \]

Repetindo esse processo para os ângulos \( \beta \) e \( \gamma\), obtemos a relação que define a lei dos senos:

\[ \dfrac{a}{sen \left( \alpha \right)} = \dfrac{b}{sen \left( \beta \right)} =\dfrac{c}{sen \left( \gamma \right)} = 2\cdot R \]

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é o que determina valores de um ângulo quando temos todos os lados ou o valor de um lado tendo apenas os valores dos outros dois lados e do ângulo oposto a ele.

Observe a figura abaixo:

Triângulo qualquer para análise da lei dos cossenos e lei das áreas

No triângulo qualquer de lados \(a, b\) e \(c\) e ângulos \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) acima, identificamos o segmento \(h\), altura referente ao lado \(c\), que origina outros dois triângulos retângulos.

As duas primeiras informações que podemos identificar é a partir da aplicação do teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos:

\( a^2 = h^2 + (c-x)^2 \Rightarrow a^2 = h^2 + c^2 -2\cdot c \cdot x + x^2 \)

\( b^2 = h^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = b^2 - h^2 \)

Ao substituir a equação (2) em (1), temos essa situação:

\[ \begin{eqnarray} a^2 &=& h^2 + c^2 - 2\cdot c \cdot x + b^2 -h^2 \\ a^2 &=& b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot x \end{eqnarray} \]

Nesse momento, obtemos o lado \(a\) em função dos outros lados e do valor \(x\). Entretanto, podemos aplicar o cosseno no triângulo retângulo de lado \(x\) e chegar ao seguinte resultado:

\[ cos \left( \alpha \right) = \dfrac{x}{b} \Rightarrow x = b \cdot cos \left( \alpha \right) \]

Portanto, unindo as duas últimas equações, obtemos a lei dos cossenos em relação ao lado a e seu ângulo oposto \(\alpha\):

\[ a^2 = b^2 + c^2 -2\cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \alpha \right) \]

Para ajudar você a se lembrar dessa fórmula, há uma frase mnemônica:

Pitágoras menos 2 b se cossa

\( a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cos \left( \alpha \right) \)

Podemos aplicar a relação acima para os demais lados e ângulos, mantendo sempre isolado na igualdade o lado oposto ao ângulo. Dessa forma, as leis dos cossenos são dadas por:

\[ \begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cos \left( \alpha \right) \\ b^2 &=& a^2 + c^2 -2 \cdot a \cdot c \cdot cos \left( \beta \right) \\ c^2 &=& a^2 + b^2 -2 \cdot a \cdot b \cdot cos \left( \gamma \right) \end{eqnarray} \]

Lei das áreas

A lei das áreas é a mais simples de identificar, mas, antes vamos lembrar a fórmula básica da área de um triângulo:

\[ A = \dfrac{B \cdot H}{2}\]

Em que \(B\) é a base do triângulo e \(H\) é a altura relativa à base, sendo os dois segmentos, perpendiculares. Se tomarmos a base como o lado \(c\), notaremos que a altura é o segmento \(h\). Portanto, a área do triângulo é:

\[ A = \dfrac{c \cdot h}{2} \]

Perceba que também podemos substituir \(h\) em função do lado \(a\) ou do lado \(b\), aplicando as relações seno:

  1. \( sen \left( \beta \right) = \dfrac{h}{a} \Rightarrow h = a \cdot sen \left( \beta \right) \)
  2. \( sen \left( \alpha \right) = \dfrac{h}{b} \Rightarrow h = b \cdot sen \left( \alpha \right) \)

Logo, podemos substituir (i) ou (ii) na área do triângulo e obter:

  1. \( A = \dfrac{c \cdot a \cdot sen \left( \beta \right)}{2} \)
  2. \( A = \dfrac{c \cdot b \cdot sen \left( \alpha \right)}{2} \)

Além disso, se tomarmos outro lado como base do triângulo, obteremos a seguinte relação:

  1. \( A = \dfrac{a\cdot b \cdot sen \left( \gamma \right)}{2} \)

Portanto, a lei das áreas nos diz que a área de um triângulo é igual ao produto de dois lados adjacentes e o seno do ângulo formado por esses lados.

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Ângulos na trigonometria

O ângulo é uma grandeza que mede a abertura entre duas semirretas, e suas principais unidades são graus (º) e radianos (\(rad\)).

A unidade do grau possui subunidades denotadas por minutos ('), que equivale a \( \dfrac{1}{60} \) do grau; e segundos (''), que equivale a \( \dfrac{1}{60} \) do minuto; ou ainda \( \left( \dfrac{1}{60} \right)^2 \) do grau.

Já a medida em radianos é determinada da seguinte forma: imagine uma circunferência de raio \(r\), em que \(r\) é calculada como um arco de circunferência, e que ligamos a outra extremidade ao centro, escrevendo outro raio (como se fosse um arco arco "equilátero").

A abertura de um raio determina \( 1 rad\), realizando uma conversão \(1rad = 57,296º \).

Ângulo definido por duas semirretas
Ângulo definido por duas semirretas
Amplitude de \( 1 rad \)
Amplitude de \( 1 rad \)

Temos que uma volta completa equivale a \( 360º\) ou ainda \( 2\pi rad \), e para realizar a conversão de graus para radianos, usamos a seguinte regra de três

realizar a conversão de graus para radianos

Tipos de ângulos

O ângulo raso é a metade de um ângulo completo, ou seja, 180º. Em consequência, o ângulo reto é a metade de um ângulo raso, isto é, 90º. Além disso, quando não há abertura dizemos que o ângulo é nulo, logo, .

Ângulo raso
Ângulo raso
Ângulo reto
Ângulo reto

Entretanto, há ângulos que estão entre esses valores principais, por isso, dizemos que um ângulo é agudo quando ele está entre 0º e 90º. Se for obtuso, é porque o ângulo está entre 90º e 180º. Por fim, se um ângulo estiver entre 180º e 360º, o chamamos de ângulo côncavo.

Radianos

Você já viu que o ângulo pode ser medido em radianos, uma medida que não é tão intuitiva e costuma ser utilizada em computadores, calculadoras e problemas.

Visualize uma circunferência de raio \( r\), imagine que podemos pegar essa medida e curvá-la de forma que se encaixe perfeitamente na circunferência, como na animação abaixo:

Animação representando a medida
Animação representando a medida de \(1 rad\)

Criamos uma bela "fatia de pizza", formalmente conhecida como setor circular, definida por dois segmentos de medida \(r\) e um comprimento de arco também de medida \(r\).

Observe que conseguimos encaixar nessa circunferência 6 medidas exatas de arcos com medida \(r\), mas sobra um pedacinho com medida próxima de \(0,28\cdot r\), ou seja, esse arco tem aproximadamente \(28\%\) a medida do raio.

Quantidade de setores de medida em uma circunferência
Quantidade de setores de medida \(r\) em uma circunferência

Dessa forma, dentro de uma circunferência cabem 6 raios completos mais \(0,28 \cdot r\). Cada setor fica limitado a dois raios e um arco de medida igual ao raio, que vamos denotar por \(1 rad\), ou seja, em cada circunferência cabem exatamente \(6,28 rad \).

Vamos pensar agora nas medidas como diâmetro, de dois em dois. Observe que cabem, aproximadamente, \(3,14\) diâmetros, número que você conhece, não é mesmo? O famoso \(\pi\)! Dessa forma, uma circunferência completa equivale a \(2\pi rad \).

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Trigonometria no círculo trigonométrico

A trigonometria que vimos até aqui é baseada no triângulo retângulo, mas, a partir de agora, mostraremos como se comportam as razões trigonométricas dentro do círculo trigonométrico.

Note que o círculo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a uma unidade de comprimento e que possui os eixos \(x\) e \(y\) de um plano cartesiano que passam pelo centro dessa circunferência. Veja a imagem do círculo trigonométrico:

Ciclo trigonométrico
Ciclo trigonométrico

O ponto inicial desse círculo é o ponto de coordenadas \(\left(1,0\right)\), ou seja, na extrema direita da circunferência. Além disso, determinamos um segmento no ponto de partida até o centro da circunferência para analisar os ângulos que podem se formar com outros segmentos.

Razões da trigonometria no círculo trigonométrico

As razões seno, cosseno e tangente estão presentes no triângulo retângulo, mas também no círculo trigonométrico. Para calcular, observe a situação em cada uma delas:

Eixos seno, cosseno e tangente
Eixos \(sen\), \(cos\) e \(tg\)

Podemos notar que definido o ângulo \(\alpha\), ao marcar um segmento partindo do centro do círculo com essa angulação, é possível identificar algumas medidas. Ou seja, a coordenada \(y\) do ponto de intersecção do segmento com a circunferência é o seno do ângulo \(\alpha\).

Por outro lado, a coordenada \(x\) desse mesmo ponto é equivalente ao cosseno do ângulo \( \alpha \). Além disso, ao prolongar o segmento até o eixo da tangente, descobrimos o ponto que distancia uma medida de tangente de \(\alpha\) do eixo do cosseno.

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Ângulos notáveis

Dentro da trigonometria, há os chamados ângulos notáveis, isto é, os ângulos que podemos encontrar com facilidade e com ajuda da geometria. São eles \(0º, 30º, 45º, 60º, 90º\) e seus correspondentes.

Confira uma tabela com os ângulos notáveis:

Tabela com ângulos notáveis
Tabela com ângulos notáveis

Sinal dos quadrantes

Em função da representação cartesiana dos eixos \(sen \) e \(cos\), podemos definir o sinal dos quadrantes para a razão: seno, cosseno e tangente. Veja a imagem:

Sinais das relações trigonométricas no plano cartesiano
Sinais das relações trigonométricas no plano cartesiano

Note que os quadrantes são classificados de acordo com o plano cartesiano original. Assim, o primeiro quadrante é o superior direito, o segundo é o superior esquerdo, o terceiro é o inferior esquerdo e, por fim, o quarto é o inferior direito.

Ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes são aqueles que resultam em um valor equivalente (em módulo) ao de outro ângulo quando aplicado nas razões trigonométricas.

Abaixo, veja os ângulos correspondentes de 30, 45 e 60 graus:

Ângulos notáveis correspondentes
Ângulos notáveis correspondentes

A imagem mostra que as razões trigonométricas desses ângulos correspondentes são equivalentes. Mas, para identificar o sinal de cada ângulo, devemos observar o sinal dos quadrantes em cada razão trigonométrica. Sendo assim, temos algumas relações:

  • Segundo e primeiro quadrante: senos com mesmo sinal e cossenos com sinal trocados.

\[ sen \left( \alpha \right) = sen \left( \pi - \alpha \right) \text{ e } cos \left( \alpha \right) = -cos \left( \pi - \alpha \right) \]

  • Terceiro e primeiro quadrante: ambos senos e cossenos com sinais trocados.

\[ sen \left( \alpha \right) = -sen \left( \alpha - \pi \right) \text{ e } cos \left( \alpha \right) = -cos \left( \alpha - \pi \right) \]

  • Quarto e primeiro quadrante: senos com sinais trocados e cossenos com mesmo sinal.

\[ sen \left( \alpha \right) = -sen \left( 2 \pi - \alpha \right) \text{ e } cos \left( \alpha \right) = cos \left( 2 \pi - \alpha \right) \]

Reduções de arcos para a primeira volta

Para um skatista, é uma façanha realizar 900º com o seu skate. Perceba que 900º é 360º + 360º + 180º, ou seja, em tese, o skatista que faz 900º realiza duas voltas e meia em torno de si e depois aterrissa no chão sem cair!

Na trigonometria, quando nos deparamos com um ângulo superior a 360º, fazemos a mesma análise. Observamos quantas voltas cabem nesse ângulo, entretanto, o que realmente importa é qual a angulação após o número de voltas.

Em outras palavras, na trigonometria, um ângulo de 900º resulta no mesmo valor do que um ângulo de 180º para o seno, o cosseno e tangente, a diferença é apenas o número de rotações completas.

Para reduzir um ângulo \( \alpha\), superior a \(360º \) ou \( 2 \pi \), basta fazer a divisão de \(\alpha\) por 360º, caso esteja em graus, ou dividir por \(2\pi\), caso esteja em radianos. Analisando o resultado do resto dessa divisão, teremos que a relação trigonométrica do ângulo original será igual à relação trigonométrica do resto obtido.

Relação fundamental e relações auxiliares da trigonometria

A relação fundamental da trigonometria é uma derivação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por meio do círculo trigonométrico.

Observe a demonstração na imagem:

Relação fundamental da circunferência
Relação fundamental da circunferência

Conforme mostra a figura, a relação fundamental da trigonometria é a aplicação do teorema de Pitágoras sobre o triângulo formado pelo ângulo \(\alpha\) na circunferência de raio \(1\), gerando a relação \( sen^2 \left( \alpha \right) + cos^2 \left( \alpha \right) = 1 \).

Já as relações auxiliares são derivadas da relação fundamental da trigonometria. Para demonstrá-las basta dividir a relação fundamental por \( sen^2 \left( \alpha \right) \) ou \( sen^2 \left( \alpha \right) \):

\[ \dfrac{sen^2 \left( \alpha \right)}{sen^2 \left( \alpha \right)} + \dfrac{cos^2 \left( \alpha \right)}{sen^2 \left( \alpha \right)} = \dfrac{1}{sen^2 \left( \alpha \right)} \\ 1 + cotg^2 \left( \alpha \right) = cossec^2 \left( \alpha \right) \]

\[ \dfrac{sen^2 \left( \alpha \right)}{cos^2 \left( \alpha \right)} + \dfrac{cos^2 \left( \alpha \right)}{cos^2 \left( \alpha \right)} = \dfrac{1}{cos^2 \left( \alpha \right)} \\ tg^2 + 1 = sec^2 \left( \alpha \right) \]

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Operações com arcos

Na trigonometria, podemos realizar as operações com os arcos dentro das razões trigonométricas. Dessa forma, há as situações onde ocorre a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão de arcos.

As mais importantes são as duas primeiras operações e as operações com arcos duplos.

Soma e subtração de arcos

Para a soma e a subtração de arcos, utilizamos algumas manipulações trigonométricas, com a ajuda do teorema de Pitágoras, que nos diz que o seno da soma e subtração de dois arcos é:

\[ \begin{eqnarray}
sen \left( \alpha + \beta \right) &=& sen \left( \alpha \right) \cdot cos \left( \beta \right) + sen \left( \beta \right) \cdot cos \left( \alpha \right) \\
sen \left( \alpha - \beta \right) &=& sen \left( \alpha \right) \cdot cos \left( \beta \right) - sen \left( \beta \right) \cdot cos \left( \alpha \right)
\end{eqnarray} \]

Além disso, para o cosseno, a relação é:

\[
\begin{eqnarray}
cos \left( \alpha + \beta \right) &=& cos\left( \alpha \right) \cdot cos \left( \beta \right) - sen \left( \alpha \right) \cdot sen \left( \beta \right) \\
cos \left( \alpha - \beta \right) &=& cos\left( \alpha \right) \cdot cos \left( \beta \right) + sen \left( \alpha \right) \cdot sen \left( \beta \right)
\end{eqnarray}
\]

Mais ainda, a tangente da soma e a subtração de arcos é derivada dessas outras duas funções, que resulta nas seguintes fórmulas:

\[
\begin{eqnarray}
tg \left( \alpha + \beta \right) &=& \dfrac{tg \left( \alpha \right) + tg \left( \beta \right)}{1 - tg \left( \alpha \right) \cdot tg \left( \beta \right)} \\
tg \left( \alpha - \beta \right) &=& \dfrac{tg \left( \alpha \right) - tg \left( \beta \right)}{1 + tg \left( \alpha \right) \cdot tg \left( \beta \right)}
\end{eqnarray}
\]

Por último, as operações de arcos duplos para as relações trigonométricas são:

\[
\begin{eqnarray}
sen \left( 2 \alpha \right) &=& 2 sen \left( \alpha \right) \cdot cos \left( \alpha \right) \\
cos \left( 2 \alpha \right) &=& cos^2 \left( \alpha \right) - sen^2 \left( \alpha \right) \\
tg \left( 2 \alpha \right) &=& \dfrac{2 tg \left( \alpha \right)}{1 - tg^2 \left( \alpha \right)}
\end{eqnarray}
\]

Funções trigonométricas

Entendemos por função uma relação \(f\) entre dois conjuntos \(A\) e \(B\) que satisfazem duas regras:

  • para todo \( x \in A\), existe algum \( y \in B \) tal que \(f(x) = y\)

  • para todo \(x \in A\), existe apenas uma relação entre \(x\) e \(y\)

Sendo menos formal, no conjunto de saída \(A\), nenhum número ficará de fora da relação, e nenhum número de \(A\) se relaciona com mais de um elemento de \(B\).

Funções trigonométricas não são diferentes, já que elas satisfazem exatamente essas duas regras. Porém, trazem algumas peculiaridades que veremos a seguir.

Função seno

A função seno é definida por

\[
\begin{eqnarray}
f:\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & sen(x)
\end{eqnarray}
\]

A função \(sen\) é contínua para todos os números reais, ou seja, o seu domínio é \( D = \mathbb{R} \). No gráfico abaixo, vemos que a função \( sen\) fica navegando entre \(-1\) e \(1\), dessa forma, o conjunto da imagem é dado por \( Im = [-1, 1] \).

Função seno
Função seno

Repare que, a partir de um certo ponto, o gráfico se repete como uma cópia da parte anterior, visto que, em função do círculo trigonométrico, independentemente das voltas do ângulo, os valores estão sempre variando dentro do mesmo intervalo.

Da origem até o ponto onde a função se repete, vamos chamar de período da função, e o período da função seno é de \( [0, 2\pi] \). Já a distância entre o maior e o menor ponto das função, iremos chamar de amplitude, e a amplitude da função seno é dado pela imagem \( [-1, 1] \).

De forma geral, a função seno tem a seguinte lei:

\[ f(x) = A\cdot sen(B\cdot x + C) + D \]

Onde \( A, B \in \mathbb{R}^{*} \) e \( C, D \in \mathbb{R} \). O coeficiente \(A\) faz com que a amplitude de nossa função aumente ou diminua. Os coeficientes \(B\) e \(C\) vão alterar o período de nossa função, e por último, o coeficiente \(D\) faz com que o centro de nossa função fique deslocado.

Função cosseno

Muito semelhante à função seno, a função cosseno tem a seguinte lei:

\[
\begin{eqnarray}
f:\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & cos(x)
\end{eqnarray}
\]

A função cosseno também é contínua para todos os pontos da reta real, fazendo com que seu domínio seja \( D = \mathbb{R} \); e seus valores também variam entre \(-1\) e \(1\), fazendo com que sua imagem seja \( Im = [-1, 1] \), assim como na função seno.

Função cosseno
Função cosseno

Como você pode observar no gráfico acima, ele é muito semelhante ao da função seno. Essa semelhança não é coincidência, pois a função cosseno também obedece ao círculo trigonométrico, fazendo com que ela tenha periodicidade \( [0, 2\pi ] \).

De forma geral, a função cosseno é dada por:

\[ f(x) = A\cdot sen(B\cdot x + C) + D \]

Onde os valores de \(A, B, C\) e \(D\) satisfazem as mesmas condições da função seno, e executam as mesmas ações da função seno, alterando sua amplitude, periodicidade e altura do centro.

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Como a trigonometria cai no Enem e nos vestibulares?

Quem está dando o seu melhor pela tão sonhada aprovação, após tantas explicações, com certeza deseja saber o quanto deve estudar de trigonometria para as provas.

No caso da Matemática no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), o assunto costuma aparecer de forma básica e intuitiva, sempre contextualizada com problemas físicos envolvendo rotações, ondas e frequências.

Assim, dominando as noções básicas de funções, relações fundamentais e a tabela de ângulos notáveis, será possível resolver os problemas.

Trigonometria também não é a matéria queridinha do Enem, já pouco menos de 20 questões caíram ao longo de todos os anos.

Já para os demais vestibulares (como UEA, UERJ, Unicamp, Unesp e UFPR), é necessário ter um conhecimento mais avançado sobre funções e relações trigonométricas. Entender período e amplitude, além de saber manipular ângulos para operar com somas e as diferenças de arcos é imprescindível.

Exemplo 1

(Enem 2023) O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo - imagem Enem
(Imagem: Reprodução)

Os cabos de aço formam um ângulo \(\alpha \) com o plano do chão e instalação:

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

  • opção I: \(h = 11\)m e \(\alpha = 30°\)
  • opção II: \(h = 12\) m e \(\alpha = 45° \)
  • opção III: \(h = 18\) m e \(\alpha = 60°\)

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados? 

a) \( \dfrac{22\sqrt{3}}{3} \)

b) \( 11\sqrt{2} \)

c) \( 12\sqrt{2} \)

d) \( 11\sqrt{3} \)

e) \( 22 \)

Resposta: [C]
O comprimento \(x\) dos cabos é dado por:
\[ sen(\alpha ) = \dfrac{h}{x} \Rightarrow x = \dfrac{h}{sen(\alpha )} \] 
Para cada opção, temos:
\[ x_I = \dfrac{11}{sen⁡(30°)} = \dfrac{11}{\frac{1}{2}} \Rightarrow x_I = 22 m \]
\[ x_{II} = \dfrac{12}{sen⁡(45°)} = \dfrac{12}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow x_{II} = 12\sqrt{2} m \cong 16,9 m \]
\[ x_{III} = \dfrac{18}{sen⁡(60°)} = \dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow x_{III} = 12\sqrt{3} m \cong 20,8 m \]
Logo, a medida dos cabos a serem instalados é de \(12\sqrt{2}\) m. 

Exemplo 2

(Uece 2018)  Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente \(7m\) e \(5\cdot \sqrt{2} m \) e se a medida do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em metros, do terceiro lado é:

a) 12
b) 15
c)13
d) 14

Resposta: [B]
Seja \(x\) a medida do terceiro lado. Logo, pela lei dos cossenos, encontramos:
\[
\begin{eqnarray}
x^2 &=& 7^2 + (5\cdot \sqrt{2})^2 - 2\cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot cos(135^{º}) \\
x^2 &=& 49 + 50 - 70\sqrt{2} \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
x^2 &=& 99 + 35 \cdot 2 \\
x^2 &=& 169 \\
x &=& 13
\end{eqnarray}
\]

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Bruno Pimpão

Analista pedagógico de Matemática no Aprova Total. Bacharel em Matemática pela UFSM e músico nas horas vagas

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