Quais conceitos da geometria plana são cobrados no Enem?

No Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), a geometria plana é uma das áreas mais importantes e recorrentes da prova de Matemática. Seja por meio dos conceitos mais básicos ou de problemas que exigem um raciocínio mais complexo e uma boa dose de interpretação, ela está ali.

Aliás, você já reparou como a geometria está presente no dia a dia das pessoas? Nos designs dos prédios, na maneira como dobramos um papel, como um todo, as formas geométricas ajudam a entender o mundo ao redor.

Neste texto, vamos explicar como a geometria plana aparece nas questões do Enem, que frequentemente vão além de simples cálculos e fórmulas. Elas exigem compreender os enunciados, deduzir informações implícitas e aplicar conhecimentos em situações cotidianas.

Tópicos de geometria plana que você precisa entender

A geometria plana, estuda figuras bidimensionais, como triângulos, quadrados, círculos e polígonos. Ela é a base para muitas questões do Enem que exploram suas propriedades, relações entre ângulos e lados, perímetros, áreas e etc. Portanto, saber identificar e resolver problemas geométricos faz uma grande diferença no seu desempenho.

No Enem, você encontrará problemas que envolvem desde a aplicação direta das fórmulas de Matemática até questões que exigem raciocínio mais elaborado e a combinação de diferentes conceitos.

Triângulos no Enem: a base da geometria plana

Os triângulos são figuras geométricas versáteis e presentes em várias questões de Matemática do Enem. Compreender suas propriedades e relações ajuda a resolver problemas de geometria plana de maneira eficaz.

Tipos de triângulos

• Triângulo equilátero: todos os lados e ângulos tem medidas iguais entre si. Cada ângulo interno mede 60 graus.
• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e dois ângulos iguais.
• Triângulo escaleno: todos os lados e ângulos são diferentes.
• Triângulo retângulo: um dos ângulos internos é de 90 graus, sendo os outros dois complementares.
• Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos agudos.
• Triângulo obtuso: possui um ângulo cuja medida é maior que 90º.

Propriedades e teoremas importantes

• Teorema de Pitágoras: fundamental para triângulos retângulos, onde a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: \(a^2+b^2=c^2\)

• Teorema de Tales: relaciona as proporções entre segmentos de retas paralelas cortadas por transversais.
• Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.
• Área do triângulo: pode ser calculada de várias formas, sendo a mais comum

\(\dfrac{\text{base}\times \text{altura}}{2}\)

Cálculo de áreas

Você já se perguntou como os engenheiros projetam os edifícios ou como arquitetos calculam exatamente quanto material é necessário para construir uma casa? Por trás disso, está o fascinante mundo do cálculo de áreas!

E adivinha? Esse conhecimento é importante não apenas para profissões específicas, mas também para os candidatos do Enem.

No exame, questões sobre áreas são frequentes (e uma excelente oportunidade para você acumular pontos), e podem pedir para calcular a área de uma parede que precisa ser pintada ou a superfície de uma embalagem.

Principais fórmulas para o cálculo de áreas

Quadrado

\[A_{\text{Quadrado}} = a^2\]

Círculo

\[A_{\text{Círculo}}=\pi \cdot r^2\]

Trapézio

\(A_{\text{Trapézio}}=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\)

As questões de áreas no Enem exigem mais do que o simples uso de fórmulas. Elas frequentemente requerem habilidades de interpretação, análise e raciocínio lógico para encontrar os elementos necessários antes de aplicar qualquer fórmula.

Vamos explorar como essas questões são estruturadas e algumas estratégias para resolvê-las com sucesso?

• identifique as figuras geométricas envolvidas. Se o problema descreve uma forma composta, decompô-la em figuras menores e mais simples (como triângulos, retângulos, círculos) pode facilitar a resolução.
• atente-se ao enunciado, pois ele pode conter dicas, a exemplo de termos como "diagonal", "altura", "base" ou "raio", que precisam ser identificados e utilizados adequadamente.
• desenhe a figura descrita no problema, pois isso ajuda a visualizar as relações entre os elementos e a identificar as etapas necessárias para encontrar os valores desconhecidos.

Polígonos no Enem

Os polígonos são figuras geométricas presentes nas questões de geometria plana do Enem. Assim, compreender suas propriedades e saber aplicar suas fórmulas pode ser a chave para resolver os problemas.

Essas figuras planas são fechadas e formadas por segmentos de reta, que chamamos de lados. Dependendo do número de lados, os polígonos recebem nomes específicos:

Quando os polígonos possuem todos os lados e ângulos com a mesma medida, dizemos que são polígonos regulares.

Propriedades dos polígonos

Veja algumas propriedades importantes dos polígonos:

• para polígonos regulares (todos os lados e ângulos iguais), o ângulo interno pode ser calculado por: \(A_i=\dfrac{(n-2)\cdot 180º}{n}\)
• o número de diagonais de um polígono é dado por: \(D=\dfrac{n\cdot (n-3)}{2}\)​

Para estudar os polígonos

• Assegure-se de entender e memorizar as fórmulas para soma dos ângulos internos, ângulo interno de polígonos regulares, e número de diagonais.
• Resolva questões que envolvem diferentes tipos de polígonos e situações contextuais para se familiarizar com a aplicação prática dos conceitos.
• Desenhe os polígonos e marque os ângulos e diagonais para visualizar melhor os problemas e compreender as relações entre os elementos.

Fundamentos e ângulos no Enem

Os fundamentos e ângulos são essenciais para a compreensão da geometria plana, portanto, confira quais são os tipos de ângulos e suas relações.

Tipos de ângulos

• Agudo: menor que 90º
• Reto: exatamente 90º
• Obtuso: maior que 90º e menor que 180º
• Raso: exatamente 180º
• Suplementares: dois ângulos cuja soma é 180º
• Complementares: dois ângulos cuja soma é 90º

Entre as propriedades importantes dos ângulos, temos que:

• em um polígono de n lados, a soma dos ângulos internos é \((n-2)\cdot 180º\)
• a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre 360º

Relações angulares

• Ângulos alternados: quando duas linhas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternados internos e externos são congruentes.

• Ângulos opostos pelo vértice: são iguais.

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Círculos e circunferências no Enem

Reunimos os principais tópicos relacionados a círculos e circunferências, além de dicas para ajudar você a estudar para o exame.

Definições básicas

• Circunferência: linha curva que delimita o círculo, o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância constante (raio) de um ponto central (centro).
• Círculo: região do plano delimitada pela circunferência, incluindo todos os pontos internos.
• Raio (r): distância do centro à circunferência.
• Diâmetro (d): segmento de reta que passa pelo centro e toca dois pontos opostos da circunferência, é o dobro do raio (\(d=2r\)).
• Arco: parte da circunferência delimitada por dois pontos.
• Setor circular: região do círculo delimitada por dois raios e o arco entre eles.

Fórmulas importantes

Veja algumas fórmulas que você deve guardar na memória!

Comprimento da circunferência

\[C=2\cdot \pi \cdot r\]

Área do círculo

\[A_{\text{Círculo}}=\pi \cdot r^2\]

Comprimento de um arco

Se o ângulo central que sustenta o arco é θ (em graus):\(L=\dfrac{\theta}{360º}\cdot 2\pi \cdot r\)

Área de um setor circular

Se o ângulo central que sustenta o setor é θ\thetaθ (em graus): \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\theta}{360º}\cdot \pi \cdot r^2\)

Área da coroa circular

A coroa circular é uma figura geométrica plana formada pela diferença entre dois círculos concêntricos, ou seja, dois círculos que têm o mesmo centro, mas raios diferentes.

Basicamente, a coroa circular é a região do plano delimitada entre a circunferência do círculo maior e a do círculo menor.

Sua área pode ser calculada utilizando a fórmula: \(A_{\text{CC}}=\pi\cdot(R^2-r^2)\).

No Enem, questões de geometria plana envolvendo círculos e circunferências podem aparecer de diversas maneiras:

• Problemas diretos: exige calcular o comprimento da circunferência ou a área do círculo dadas as medidas do raio ou diâmetro.
• Problemas contextualizados: envolve situações práticas, como determinar o comprimento de um caminho circular, a área de uma pista de corrida, ou a quantidade de material necessário para cobrir uma superfície circular.
• Arcos e setores: exige calcular o comprimento de arcos ou a área de setores circulares a partir de ângulos centrais.
• Geometria combinada: trata-se de problemas que combinam círculos com outras figuras geométricas, como encontrar áreas sombreadas.

Geometria plana no Enem: exercícios resolvidos

Agora que você já leu sobre os conceitos mais importantes da geometria plana, confira aplicações a partir de exemplos de questões que já apareceram no Enem.

Exemplo 1

(Enem 2020) Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.

Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura:

Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos:

1 – Triângulo retângulo isósceles;
2 – Triângulo equilátero;
3 – Quadrado.

Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato:

a) 1.
b) 3.
c) 1 e 2.
d) 1 e 3.
e) 2 e 3.

Resposta [B]
A informação importante deste exercício é que as áreas sombreadas tratam-se de octógonos regulares, logo, sabemos que todos os seus ângulos possuem a mesma medidas e podemos calcular os ângulos das figuras não sombreada. Para entender a sua estrutura, seguiremos a seguinte estratégia:

primeiro, encontraremos a medida de um ângulo interno do octógono, utilizando a fórmula:
\(\frac{(n-2)\cdot 180º}{n}\) onde n é o número de lados do polígono regular, que neste caso por se tratar de um octógno, \(n=8\). Assim:

\[A_I=\frac{(8-2)\cdot 180º}{8}=\frac{6\cdot 180º}{8}=\frac{1080º}{8}=135º\]

Sabendo que um ângulo interno do octógono mede 135º e que uma volta completa mede 360º, podemos encontrar os ângulos das figuras do centro não sombreadas, conforme a figura a seguir:



Essa relação equivale para os 4 ângulos da figura do centro, além disto, seus 4 lados são lados do octógono regular, logo estes 4 lados possuem a mesma medida, logo as figuras do centro tratam-se de quadrados.

Para as figuras restantes, podemos utilizar da mesma informação que o ângulo interno do octógono regular mede 135º, que meia volta mede 180º, é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, assim temos que:



Essa relação equivale para os 4 ângulos da figura do centro, com 4 lados de um octógono regular, o que faz com que estes 4 lados tenham a mesma medida, tratando-se, então, de quadrados.

Para as figuras restantes, podemos utilizar a mesma informação (que o ângulo interno do octógono regular mede 135º, que meia volta mede 180º e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º). Assim, temos que:

Por simetria, as figuras restantes são triângulos retângulos, com um ângulo reto, e isósceles, pois tem dois ângulos iguais (com dois lados iguais).

Exemplo 2

(Enem 2018) O remo de assento deslizante é um esporte que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho.

A figura mostra uma das posições de uma técnica chamada afastamento.

Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo ângulo BÂC tem medida de 170°.

O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, no momento em que o remador está nessa posição, é

a) retângulo escaleno.
b) acutângulo escaleno.
c) acutângulo isósceles.
d) obtusângulo escaleno.
e) obtusângulo isósceles.

Resposta [E]
Os remos possuem o mesmo tamanho, logo BA e AC possuem mesma medida, e como o exercício nos diz que BÂC possui a medida do seu ângulo de 170º, logo o triângulo ABC é obtusângulo (possui um ângulo maior que 90º) e isósceles (possui dois lados com a mesma medida).

Exemplo 3

(Enem PPL)  No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.

A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser

a) \(R=2r\)

b) \(R=r\sqrt{2}\)

c) \(R=\frac{r^2+2r}{2}\)

d) \(r^2+2r\)

e) \(\frac{3}{2}r\)

Resposta [B]
A área da figura central trata-se de um círculo, logo sabemos que sua área é: \(\pi \cdot r^2\)

A área da faixa circular é um coroa circular que pode ser calculada conforme a fórmula: \(\pi \cdot (R^2-r^2)\).

Como ambas as áreas devem ser iguais devemos igualar elas, logo:

\(\pi r^2 = \pi \cdot (R^2-r^2)\Rightarrow r^2=R^2-r^2\Rightarrow 2r^2=R^2\)
\(\Rightarrow R=r\sqrt{2}\)

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Crédito das imagens: Allan David/Aprova Total