Cilindro: elementos, fórmulas, planificação e exercícios

Podemos dizer que o cilindro é um objeto que parece com latas de refrigerante. Ele tem seus segredos, como as fórmulas mágicas para calcular volume e área lateral, e até um jeito todo especial de ser planificado ou representado.

É como se fosse um presente surpresa que estivesse pronto para ser aberto (só que o presente é mais cálculo 🆘).

Aliás, os cilindros vivem aparecendo nas provas para testar a nossa paciência. Mas, no fim das contas, com um pouco de treino, você consegue encarar essa geometria cilíndrica sem medo!

O que é um cilindro?

Um cilindro é uma figura geométrica tridimensional com duas bases circulares paralelas e congruentes, conectadas por uma superfície curva. Sua construção pode ser feita da seguinte maneira:

1° passo
Vamos considerar um círculo em um lugar qualquer do espaço.

Observação: a imagem parece uma elipse pois estamos trabalhando com 3 dimensões, e o círculo foi posicionado "deitado" em relação à visualização.

2° passo
Vamos considerar um outro circulo, congruente ao primeiro, porém em outro lugar do espaço.

3° passo
Agora, conecte todos os pontos de um dos círculos com todos os pontos equivalente do outro círculo.

Pronto, construímos nosso primeiro cilindro! Ele é reto, pois o ângulo formado entre as base é reto.

Existe outra maneira de se construir e ela dá nome à entidade geométrica da qual o cilindro faz parte, os sólidos de revolução. Vamos entender como esta construção acontece:

1° passo
Necessitamos de um eixo preferencialmente na vertical, conforme a imagem a seguir oriente;

2° passo
Precisamos alocar o lado qualquer de um retângulo qualquer neste eixo, conforme a figura:

3° passo
Agora, basta apenas girar este retângulo com o eixo fixo em sua posição. Sugiro realizar esta parte escutando You Spin Me Round (Like A Record), da banda Dead or Alive. Traduzindo, Você Me Faz Girar (Como Um Disco) hehehe. 😅

Obs: um quadrado também é um retângulo, logo, você poderia usar um quadrado em vez do retângulo qualquer.

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Elementos de um cilindro

Os principais elementos são as bases, a altura, o raio, a geratriz, a superfície lateral e o eixo.

Veja o significa cada elemento:

1. Bases: dois círculos paralelos e congruentes que formam o topo e o fundo do cilindro.
2. Altura (h): distância entre as duas bases, ou seja, a medida da "altura" do cilindro, que vai de uma base até a outra.
3. Raio (r): distância do centro de cada base até a borda do círculo, e é igual para as duas bases.
4. Geratriz: reta que liga qualquer ponto de uma base ao ponto correspondente da outra base, percorrendo a superfície lateral do cilindro. Em cilindros retos, a geratriz é igual à altura.
5. Superfície lateral: parte "curvada" do cilindro que conecta as duas bases. Quando você "abre" essa superfície (na planificação), ela se torna um retângulo.
6. Eixo: linha imaginária que passa pelo centro das duas bases, ao longo da qual o cilindro poderia "girar".

Tipos de cilindros

Agora, vamos conhecer os tipos de cilindros existentes:

Cilindro reto

É o mais conhecido e comum, amplamente utilizado nos exercícios de geometria.

Suas bases circulares são paralelas e a geratriz é perpendicular a elas, formando um ângulo de 90°. Isso significa que a altura é medida diretamente entre as duas bases, criando uma estrutura completamente "em pé", como uma lata de refrigerante perfeitamente alinhada.

Esse é o tipo mais fácil de visualizar e calcular.

Cilindro oblíquo

O cilindro oblíquo, por outro lado, possui uma inclinação. Aqui, a geratriz não é perpendicular às bases, resultando em um cilindro "torto", como se estivesse levemente escorado para o lado.

Embora as bases ainda sejam circulares e paralelas, a altura real do cilindro é diferente do comprimento da geratriz. Isso gera um desafio a mais nos cálculos, porém, não deixa de ser uma figura fascinante.

Fórmulas do cilindro

As fórmulas são essenciais para calcular diferentes propriedades geométricas dessa figura tridimensional, que é composta por duas bases circulares e uma superfície lateral curva. Aqui estão as principais:

Área da base do cilindro

As bases de um cilindro são círculos. Para calcular a área de uma base, usamos a fórmula da área do círculo:

\(\text{A}_{\text{base}}=\pi\cdot \color{blue}{r}^2\)

Em que:

• \(\pi\) é uma constante (aproximadamente 3,14159).
• \(r\) é o raio da base

Área lateral do cilindro

A área lateral corresponde à área da superfície curva que envolve o cilindro. Imagine desenrolar a superfície lateral: ela formaria um retângulo, cuja largura é a circunferência da base \(2\pi\cdot r\) e cuja altura é a mesma altura do cilindro \(h\). Assim, a fórmula da área lateral é:

\(\text{A}_{\text{lateral}}=\color{red}{2\cdot \pi \cdot r} \cdot \color{blue}{h}\)

Em que:

• \(\pi\) é uma constante (aproximadamente 3,14159).
• \(r\) é o raio da base
• \(h\) é altura do cilindro

Área total do cilindro

A área total é a soma da área lateral e das duas áreas das bases:

\(\text{A}_{\text{total}}=2\cdot \text{A}_{\text{base}}+\text{A}_{\text{lateral}}\)

Ou seja

\(\text{A}_{\text{total}}=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot h\)

\(\rightarrow\text{A}_{\text{total}}=2\pi r\cdot (r+h)\)

Em que:

• \(\pi\) é uma constante (aproximadamente 3,14159).
• \(r\) é o raio da base
• \(h\) é altura do cilindro

Volume do cilindro

O volume mede o espaço que ele ocupa. A fórmula para o volume é derivada da multiplicação da área da base pela altura do cilindro:

\(\text{V}_{\text{cilindro}}=\pi\cdot r^2\cdot h\)

Em que:

• \(\pi\) é uma constante (aproximadamente 3,14159).
• \(r\) é o raio da base
• \(h\) é altura do cilindro

Planificação de um cilindro

A planificação é o processo de "desdobrar" sua superfície tridimensional em uma forma bidimensional. Isso facilita o entendimento de suas partes e é uma ferramenta útil em várias aplicações, como na fabricação de objetos cilíndricos ou na geometria plana.

Um cilindro é composto por três partes principais: duas bases circulares e uma superfície lateral curva.

Quando planificamos um cilindro, obtemos duas formas circulares (as bases) e um retângulo (a superfície lateral).

Para os casos em que a circunferência da base possui a mesma medida da altura do cilindro, a planificação resulta em um retângulo que é quadrado também.

Secção do cilindro

A secção ocorre quando cortamos o cilindro com um plano, resultando em uma nova figura que representa a interseção do plano com o sólido. Dependendo da orientação e da posição do plano de corte, a seção pode ter diferentes formas geométricas. A seguir, estão os dois tipos mais comuns de secções em cilindros:

Secção transversal

A seção transversal de um sólido é obtida quando cortamos o objeto com um plano perpendicular ao seu eixo principal. No caso de um cilindro, a secção transversal mais típica ocorre quando o plano é perpendicular ao eixo longitudinal (o eixo central que atravessa as duas bases).

Quando cortamos dessa forma, a secção transversal é sempre um círculo. Essa seção reflete a geometria da base do cilindro, independentemente da altura do cilindro ou da posição do corte ao longo do seu comprimento.

A área da secção formada coincide com a área da base, logo:

\(A_{\text{base}}=A_{\text{secção transversal}}=\pi\cdot r^2\)

Secção meridiana

A secção meridiana é obtida quando o plano que o corta é paralelo ao eixo longitudinal do cilindro, ou seja, quando o plano de corte passa ao longo da altura do cilindro e atravessa suas bases. Essa seção é uma das mais importantes para entender a forma e as dimensões do cilindro em uma perspectiva lateral.

A área do retângulo que surge da seção meridiana é simplesmente a multiplicação de sua altura pela largura, ou seja:

\(A_{\text{Secção Meridiana}}=2r\cdot h\)

Obs: todas as imagens deste post foram elaboradas por Allan David.

Resumo: cilindros

Vamos relembrar tudo o que você aprendeu até aqui sobre cilindros?

• Um cilindro é uma figura geométrica tridimensional com duas bases circulares paralelas e congruentes, conectadas por uma superfície curva.
• Cilindros são considerados sólidos de revolução.
• Seus elementos são: bases, altura (h), raio (r), geratriz, superfície lateral e eixo.
• No cilindro reto, as bases circulares são paralelas e a geratriz é perpendicular a elas, formando um ângulo de 90°.
• O cilindro oblíquo possui uma inclinação. Aqui, a geratriz não é perpendicular às bases, resultando em um cilindro "torto", como se estivesse levemente escorado para o lado.
• Calcula-se a área da base por: \(A_{\text{base}}=\pi\cdot r^2\)
• Calcula-se a área lateral por: \(A_{\text{lateral}}=2\cdot \pi \cdot r \cdot h\)
• O cálculo da área total é:\(A_{\text{total}}=2\cdot A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}\)
• O volume é calculado por: \(V_{\text{cilindro}}=\pi \cdot r^2 \cdot h\)
• A planificação de um cilindro resulta em dois círculos iguais e um retângulo, para cilindros que possui a circunferência da base com a mesma medida da altura tal planificação resulta em dois círculos e um retângulo que também é losango, portanto um quadrado.
• Ao cortar o cilindro em seção transversal temos sempre um círculo e sua área coincide com a área da base.
• Na secção meridiana, o plano que o corta é paralelo ao eixo longitudinal do cilindro, ou seja, quando o plano de corte passa ao longo da altura do cilindro e atravessa suas bases.
  Sua área é calculada a partir da fórmula: \(A_{\text{Secção Meridiana}}=2r\cdot h\)

Como os cilindros caem no Enem?

Veja exemplos de questões resolvidas envolvendo cilindros:

Exercício 1

(Enem) O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.

Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de
(considere π ≅ 3)

a) R$ 86,40.   
b) R$ 21,60.   
c) R$ 8,64.   
d) R$ 7,20.   
e) R$ 1,80.  

Resposta [B]
Como 40 cm = 0,4 m, segue que o volume de um tambor é dado por:
\(\pi \cdot r^2 \cdot h \cong 3\cdot \left(\dfrac{0,4}{2}\right)^2\cdot 1=0,12\;\text{m}^3\)

Assim, o volume de água contido em um kit é \(6\cdot 0,12=0,72\;\text{m}^3\)

Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês é de \(2,5\cdot 12 \cdot 0,72 =\text{R}\$\;21,60\).

Exercício 2

A foto mostra a construção de uma cisterna destinada ao armazenamento de água. Uma cisterna como essa, na forma de cilindro circular reto com 3 m² de área da base, foi abastecida por um curso-d’água com vazão constante. O seu proprietário registrou a altura do nível da água no interior da cisterna durante o abastecimento em diferentes momentos de um mesmo dia, conforme o quadro.

Qual foi a vazão, em metro cúbico por hora, do curso-d’água que abasteceu a cisterna?

a) 0,3
b) 0,5
c) 0,9
d) 1,8
e) 2,7

Resposta [C]
A vazão na cisterna é dada pela seguinte expressão:

\(Q=\dfrac{V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}}{\Delta t}\)

\(Q=\dfrac{3\cdot 3,2-3\cdot 0,5}{9}\)

\(\therefore Q=0,9\;\text{m}^3/h\)