Expressões numéricas: como resolver na ordem correta?

Entre as diversas ilhas de conhecimento da Matemática, as expressões numéricas surgem como um dos elementos fundamentais para quem deseja dominar essa ciência exata.

As expressões numéricas são combinações de números e operações matemáticas — como adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação — que, quando resolvidas passo a passo, revelam um único valor numérico.

Elas são mais do que simples cálculos, são a base para entender como diferentes valores interagem entre si em fórmulas e funções, sendo indispensáveis em quase todos os campos da Matemática.

Entender expressões numéricas é como decifrar um mapa do tesouro, no qual cada operação realizada é um passo a mais em direção ao grande X que marca o local onde está esse tesouro escondido que é a solução da expressão.

A seguir, vamos ajudar você a desvendar a ordem das operações, a resolução de problemas e a aplicação prática dessas habilidades essenciais para o estudo da Matemática.

O que são expressões numéricas?

As expressões numéricas são combinações de números e operadores matemáticos que, juntos, formam uma sequência lógica a ser resolvida. Elas são fundamentais para estudar álgebra, mas aparecem junto a conceitos básicos que aprendemos nos primeiros anos do Ensino Fundamental.

Tipos de operações envolvidas

As operações matemáticas envolvidas nas expressões numéricas se dividem em quatro categorias principais:

• Adição (+): a mais fundamental das operações, a adição é o processo de juntar dois ou mais números para obter um novo total. É o primeiro tipo de operação que aprendemos e é essencial para a construção do pensamento matemático.

Veja alguns exemplos de somas:

\(13+37=70\)

\(123+23=146\)

\(10+20+30=60\)

• Subtração (−): irmã da adição, a subtração é o processo de retirar um número de outro. Ela nos ajuda a entender conceitos como diferença e dívida, e é tão vital quanto a adição no dia a dia.

Veja alguns exemplos de subtrações:

\(20-8=12\)

\(10-32=-22\)

\(32-12-12=8\)

• Multiplicação (×): esta operação é uma forma avançada de adição, onde um número é somado a si mesmo repetidamente. A partir da multiplicação, podemos resolver problemas complexos rapidamente, além de ela ser a base para muitos conceitos na engenharia.

Veja alguns exemplos de multiplicações:

\(12 \times 3=36 \)

\((-3)\times 4=-12\)

\((-10)\times (-20)\times 2=400\)

• Divisão (÷): oposto da multiplicação, a divisão quebra um número em partes menores iguais. É uma operação importante para distribuir coisas uniformemente e entender proporções.

Veja alguns exemplos de divisões:

\(35\div 2=17,5\)

\((-2)\div 2=-1\)

\(40\div(-2)\div 2=-10\)

Ordem das operações e sinais nas expressões numéricas

A correta compreensão e aplicação da ordem das operações, juntamente com uma atenção cuidadosa aos sinais, são essenciais para ter precisão na Matemática.

Por isso, é necessário praticar esses conceitos em problemas diferentes, como forma de consolidar a habilidade de resolver expressões numéricas complexas do jeito certo!

Vamos entender como elas funcionam?

Ordem dos sinais

A ordem dos sinais em Matemática é uma regra fundamental conhecida como "regra dos sinais", que ajuda a determinar o sinal do resultado quando você está realizando operações de multiplicação ou divisão entre números inteiros.

Multiplicação ou divisão de sinais iguais

Quando você multiplica ou divide dois números com o mesmo sinal, sejam ambos positivos ou ambos negativos, o resultado é sempre positivo.

• \(\color{green}{\text{Positivo}} \times \color{green}{\text{Positivo}} = \color{green}{\text{Positivo}}\)

Exemplos

\(23\times 10 =230\)

\(22\div 11 =2 \)

• \(\color{red}{\text{Negativo}} \times \color{red}{\text{Negativo}} = \color{green}{\text{Positivo}}\)

Exemplos

\(-12\times (-3)=36\)

\(-8\div (-2)=4\)

Multiplicação ou divisão de sinais diferentes

Quando você multiplica ou divide dois números com sinais diferentes (em que um é positivo e o outro é negativo), o resultado é sempre negativo.

• \(\color{green}{\text{Positivo}} \times \color{red}{\text{Negativo}} = \color{red}{\text{Negativo}}\)

Exemplos

\(31\times (-1)=-31\)

\(10\div (-2)=-5\)

• \(\color{red}{\text{Negativo}} \times \color{green}{\text{Positivo}} = \color{red}{\text{Negativo}}\)

Exemplos

\(-3\times 10=-30\)

\(-49\div 7=-7\)

Essa regra é essencial para resolver expressões algébricas e equações, garantindo que os sinais sejam aplicados de forma a obter o resultado correto, conforme mostra a tabela abaixo:

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Ordem das operações gráficas

A ordem das operações, especialmente quando se trata do uso de parênteses, colchetes e chaves, é um conceito fundamental, que organiza como as diferentes partes de uma expressão Matemática devem ser resolvidas.

Esses símbolos de agrupamento ajudam a definir a prioridade das operações dentro de expressões mais complexas. Confira como cada um deles é utilizado:

Parênteses ( )

Os parênteses são os símbolos mais comuns, usados para alterar a ordem natural das operações. Segundo a regra PEMDAS/BODMAS, operações dentro dos parênteses têm prioridade e devem ser realizadas primeiro.

Exemplo

Na expressão:

\(5\times(2+3)\)

Primeiro, resolvemos o que está dentro dos parênteses:

\(2+3=5\)

E então realizamos a multiplicação:

\(5\times5=25\)

Colchetes [ ]

Os colchetes são usados para uma segunda camada de agrupamento. Se houver parênteses dentro deles, você deve resolver as operações dentro dos colchetes apenas depois de lidar com qualquer coisa dentro dos parênteses que eles possam conter.

Exemplo

Na expressão \(4\times[3+2\times(6−4)]\), primeiro resolve-se a operação dentro dos parênteses:

\(4\times[3+2\times(\color{blue}{2})]\)

Depois multiplica-se por 2:

\(4\times[3+\color{blue}{4}]\)

Soma-se 3:

\(4\times[\color{blue}{7}]\)

Finalmente, realiza-se a multiplicação externa:

\(4\times7=28\)

Chaves { }

As chaves são usadas para uma terceira camada de agrupamento. Apesar de menos comuns na Matemática básica, aparecem em contextos mais avançados ou em linguagens de programação.

Em uma expressão com múltiplas camadas de agrupamento, as chaves indicam a operação que deve ser realizada após as que estão nos colchetes e nos parênteses.

Exemplo

Na expressão \(2×\{5+[3×(8−6)]\}\), primeiro resolve-se o parênteses:

\(2×\{5+[3×(\color{blue}{2})]\}\)

Em seguida, a multiplicação dentro dos colchetes:

\(2×\{5+[\color{blue}{6}]\}\)

Adiciona-se 5:

\(2\times\{\color{blue}{11}\}\)

Por último, multiplica-se pelo 2 externo:

\(2\times\{11\}=22\)

A ordem correta de resolução é fundamental, porque altera significativamente o resultado de uma expressão. Desconsiderar essa hierarquia pode levar a erros substanciais em cálculos, afetando desde a solução de simples problemas de Matemática até aplicações mais complexas.

Por isso, é sempre recomendado seguir a ordem dos símbolos de agrupamento de forma estrita, para assegurar a precisão dos resultados. Mas, além de sinais como parênteses, colchetes e chaves, você deve ter notado que existe uma ordem correta para as operações como multiplicação, adição e outras.

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Dicas para resolver expressões numéricas

Quem nunca se deparou com aquelas expressões numéricas carregadas de parênteses, expoentes e uma série de operações que parecem códigos secretos em vez de um problema de Matemática? Relaxa!

Vamos desvendar juntos como resolver essas expressões passo a passo, aplicando a regra PEMDAS/BODMAS.

Ordem das operações e a regra PEMDAS/BODMAS

As siglas PEMDAS e BODMAS são acrônimos utilizados para lembrar a ordem das operações nas expressões matemáticas, onde as letras são uma referência à inicial do símbolo ou da operação a ser realizada primeiro.

• P/B (Parênteses/Brackets): resolva tudo dentro de parênteses ou colchetes primeiro.
• E/O (Expoentes/Orders): inclui expoentes e raízes, como quadrados e raízes quadradas.
• MD/DM (Multiplicação e Divisão): da esquerda para a direita.
• AS (Adição e Subtração): da esquerda para a direita.

Exemplo

Para reduzir a expressão \((23+12)\cdot 12+3^{3}\cdot 4-12\div 2-10\) com base na regra do PEMDAS, primeiro vamos resolver os parênteses:

\(\color{blue}{(35)}\cdot 12+3^{3}\cdot 4-12\div 2-10\)

Após realizar a operação dos parênteses, podemos retirá-los:

\(\color{blue}{35}\cdot 12+3^{3}\cdot 4-12\div 2-10\)

Agora, a próxima operação que deve ser realizada seguindo a ordem correta é os expoentes, logo ficamos com:

\(35\cdot 12+\color{orange}{27}\cdot 4-12\div 2-10\)

Seguindo a ordem, devemos realizar as operações de multiplicação e divisão, porém, como há mais de uma operação, devemos priorizar a que está mais à esquerda. Assim:

\(\color{green}{420}+27\cdot 4-12\div 2-10\)

\(420+\color{green}{108}-12\div 2-10\)

\(420+108-\color{green}{6}-10\)

Resta agora realizar as operações de adição e subtração. A preferência é realizar primeiro as operações mais à esquerda, mas, neste caso, não haverá diferença:

\(\color{red}{528}-6-10\)

\(528\color{red}{-16}\)

\(\color{red}{512}\)

Exceções e erros comuns

Embora a regra dos sinais para multiplicação e divisão seja bastante direta, existem algumas nuances e áreas onde os estudantes frequentemente cometem erros. Aqui estão alguns pontos para discutirmos:

Adição e subtração de números negativos

A regra dos sinais é clara para multiplicação e divisão, mas a adição e a subtração podem ser mais confusas. Por exemplo, a subtração de um número negativo é equivalente à adição do seu valor absoluto, o que às vezes confunde os alunos:

\(5−(−3)=5+3=8\)

Alunos podem esquecer de tratar o sinal de subtração seguido por um negativo como uma adição.

Erros com parênteses

O erro mais comum ocorre quando os alunos não aplicam corretamente as operações indicadas pelos parênteses, especialmente em expressões mais longas ou complexas. Por exemplo:

\(−(2+3)\times4−(2+3)\times4\)

Deve ser calculado como:

\(−5\times 4=−20−5\times 4=−20\)

Mas alunos podem errar ao não multiplicar o sinal negativo por todo o conteúdo dos parênteses.

Multiplicação e divisão com zero

Divisão por zero não é permitida na Matemática, e isso pode ser considerado uma "exceção" nas operações, pois, não importa o sinal do numerador, o resultado não é definido.

Qualquer número multiplicado por zero é zero, o que é uma regra às vezes esquecida ou aplicada incorretamente:

\(7\times 0=0\)

\(0÷7=0,\;\text{mas}\; 7÷0\) é indefinido.

Exercícios resolvidos

Confira alguns exercícios resolvidos sobre o assunto:

Exemplo 1

(Ifal)  Seja \(A=3−\{−2+[+3:6^{0}+4^{2}−(3\cdot 4−2)−1]+4\}\). Assinale a alternativa que corresponde ao dobro de A.
a) – 7   
b) – 21   
c) 49   
d) 14   
e) – 14   

Resposta [E]
Ao reduzir a expressão "A" para encontrar o seu valor, devemos utilizar as regras de sinais e ordenação para garantir que o resultado encontrado é o correto:
 \(A=3−\{−2+[+3:6^{0}+4^{2}−(3\cdot 4−2)−1]+4\}\)

Vamos começar pelos parênteses, porém, dentro deles há uma multiplicação e uma subtração, e devemos seguir essa ordem. Assim, temos que:
\(A=3−\{−2+[+3:6^{0}+4^{2}−\color{blue}{(12−2)}−1]+4\}\)
\(A=3−\{−2+[+3:6^{0}+4^{2}−\color{blue}{(10)}−1]+4\}\)

Depois de resolver o que está no parêntese, podemos seguir para a próxima operação, que são os expoentes:
\(A=3−\{−2+[+3:\color{orange}{1}+\color{orange}{16}−10−1]+4\}\)

Agora, devemos realizar a divisão que se encontra dentro dos colchetes:
\(A=3−\{−2+[+\color{blue}{3}+16−10−1]+4\}\)

Resolveremos, então, as adições e subtrações de dentro dos colchetes:
\(A=3−\{−2+[\color{blue}{19}−10−1]+4\}\)
\(A=3−\{−2+[\color{blue}{9}−1]+4\}\)
\(A=3−\{−2+[\color{blue}{8}]+4\}\)

Feito isso, vamos retirá-lo e seguir para as operações dentro das chaves:
\(A=3−\{−2+8+4\}\)
\(A=3−\{\color{blue}{6}+4\}\)
\(A=3−\{\color{blue}{10}\}\)

Após a resolver o que está nas chaves, vamos retirá-las e seguir para a operação que resta:
\(A=3−10\)
\(A=-7\)

Como a questão procura saber o dobro de A, logo \(2A=2\times(-7)=-14\)

Exemplo 2

(Ifal) Resolvendo a expressão numérica \(\{30−[16−(3+3^{2})÷2]+2^{2}\}\), encontramos o valor:

a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24

Resposta [E]
Obedecendo à hierarquia das operações, primeiro, devemos resolver as operações dentro dos parênteses, começando pelo expoente e, em seguida, a soma:
\(\{30−[16−(3+3^{2})÷2]+2^{2}\}=\{30−[16−(3+\color{blue}{9})÷2]+2^{2}\}\\=\{30−[16−(\color{blue}{12})÷2]+2^{2}\}\)

Após resolver os parênteses, podemos seguir para as operações dentro dos colchetes, obedecendo à ordem das operações:
\(\{30−[16−12÷2]+2^{2}\}=\{30−[16−\color{blue}{6}]+2^{2}\}\\=\{30−[\color{blue}{10}]+2^{2}\}\)

Após resolver os colchetes, vamos retirá-los para resolver as operações dentro das chaves, obedecendo à ordem das operações:
\(\{30−10+2^{2}\}=\{30−10+\color{blue}{4}\}=\{30−\color{blue}{6}\}=\{24\}=24\)