Análise combinatória: conceitos, fórmulas e exercícios

Você sabia que há um conceito matemático por trás das combinações de peças que compõem nossos looks no dia a dia? Acredite se quiser, mas a análise combinatória pode ajudar a entender infinitas possibilidades presentes em nossas vidas, incluindo o momento de escolher as roupas que vamos usar.

Imagine que você tem 5 camisetas, 4 calças e 3 pares de sapatos. Quantas combinações diferentes é possível montar com essas peças? A análise combinatória nos dá as ferramentas para calcular exatamente isso, sem precisar contar individualmente cada possível combinação.

A partir de agora, com exemplos, vamos explorar juntos as diversas técnicas e princípios que tornam a Matemática uma disciplina tão essencial, não apenas para as provas e vestibulares, mas em várias aplicações do cotidiano,

O que é análise combinatória?

Definir exatamente o que é análise combinatória não é tão simples. Para os vestibulandos, ela pode se limitar a problemas de permutações, arranjos e combinações, mas há outros inúmeros conceitos.

De maneira geral, podemos dizer que a análise combinatória é a parte da Matemática que investiga as estruturas e as relações de problemas que envolvem um número finito de possibilidades. Em outras palavras, buscamos maneiras de contar ou mostrar que existem subconjuntos de alguma coisa.

Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em analise combinatória são:

• demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado que satisfazem certas condições;
• contar ou classificar os subconjuntos de um conjunto finito que satisfazem certas condições dadas.

Um problema bem complexo de análise combinatória é descobrir quantas possibilidades existem para organizar um cubo mágico.

Para os curiosos, o número de possibilidades é:

\(43.252.003.274.489.856.000\)

Para que serve a análise combinatória?

Das escolhas de combinações de roupas à decisão sobre qual caminho fazer em uma viagem de carro, há outras tantas aplicações:

1. Resolução de problemas complexos: fundamental na resolução de problemas que envolvem encontrar o número de possíveis arranjos ou combinações em um conjunto dado. Importante em campos como a criptografia, pesquisa operacional, e até mesmo na organização de torneios esportivos.
2. Tomada de decisões com base em probabilidade: ao entender as combinações possíveis em um cenário específico, podemos calcular probabilidades de eventos ocorrerem. Essa ideia é aplicada em estatísticas, jogos, e na tomada de decisões financeiras.
3. Otimização de recursos: em logística, engenharia e ciência da computação, a análise combinatória ajuda a otimizar a alocação de recursos, a programação de tarefas, e o design de redes, garantindo eficiência e economia.
4. Desenvolvimento de software: algoritmos que lidam com dados, como os de busca e ordenação, frequentemente se baseiam em princípios da análise combinatória para melhorar a performance.

Princípio fundamental da contagem

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é um conceito básico de Matemática, especialmente nas áreas de probabilidade e estatística. Ele é usado para determinar o número total de possíveis resultados em situações onde há várias escolhas ou etapas a serem seguidas.

Princípio aditivo

Este princípio indica que deve ser efetuada uma soma para contabilizar o número de escolhas, podendo ser representado pelo conectivo "OU".

Veja um exemplo:

Suponha que estejamos em um restaurante e, ao ler o cardápio, nos deparemos com as seguintes opções de prato principal: 4 pratos de frutos do mar, 3 pratos de carne e 2 pratos de vegetais.

Como iremos adquirir apenas um prato principal, podemos raciocinar da seguinte maneira: comer um prato de frutos do mar OU um prato de carne OU um prato de vegetais. Assim, para saber quantas possibilidade de pratos podemos comer, basta apenas somar o número de pratos de cada categoria.

\(4+3+2=9\)

Este um exemplo simples e intuitivo para entender o princípio aditivo, mas, em nos vestibulares, será necessário raciocínio analítico para encontrar a resposta.

Princípio multiplicativo

Este princípio indica que deve ser efetuado um produto, podendo ser representado pelo conectivo "E".

Veja um exemplo:

Em uma pizzaria, é possível montar a pizza com base em opções disponibilizadas aos clientes. Devemos, primeiro, escolher o tamanho da pizza entre grande, médio e pequena. Então, seguimos para o sabor, cujas opções são Calabresa, Portuguesa, Brócolis e 4 queijos. Por fim, podemos optar por pedir a pizza com ou sem borda. Quantas pizzas diferentes conseguimos formar com essas opções?

Note que podemos escolher o tamanho da pizza E o seu sabor E se queremos com ou sem borda. Ou seja, o conectivo E nos indica que devemos multiplicar a quantidade das opções para encontrar o número total de possibilidades. Temos 3 tamanhos, 4 sabores e 2 opções de borda, logo:

\(3\times 4 \times 2 = 24\)

É possível formar 24 pizzas diferentes! Observe este problema no esquema conhecido como árvore de possibilidades:

O esquema ajuda a visualizar a análise combinatória, mas não é recomendado para a resolução do exercício, pois, quanto mais opções, mais tempo levaríamos para montá-lo.

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Fórmulas matemáticas para Enem e vestibulares

Fatorial

O fatorial de um número inteiro não negativo \(n\), representado por \(n!\), é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a \(n\). Por exemplo, o fatorial de 5 é calculado como:

\(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)

O fatorial de \(0\) é definido como \(1\) \((0!=1)\) por convenção. O conceito de fatorial é amplamente utilizado em Matemática, especialmente em combinações e permutações, além de áreas como cálculo, álgebra e teoria dos números.

Aqui estão alguns exemplos de fatoriais de números inteiros:

• \(1!=1\)
• \(2!=2\times1=2\)
• \(3!=3\times2\times1=6\)
• \(4!=4\times3\times2\times1=24\)

A função fatorial cresce rapidamente à medida que o valor de \(n\) aumenta. Isso significa que o valor de \(n!\) se torna muito grande, mesmo para valores relativamente pequenos de \(n\).

Veja um exemplo:

O baralho de cartas convencional possui 52 cartas. Se desejarmos colocá-las lado a lado, o cálculo para encontrar o número total de sequências é \(52!\), e calculando esse valor chegamos em:

\(52!=80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000\)

Para ter uma noção de quão grande é esse número, ele ultrapassa a quantidade de átomos que o planeta terra possui.

Permutação

Supondo que temos uma quantidade \(n\) de objetos, de quantas maneiras podemos ordená-los?
Vamos usar 🏐, 🏀 e ⚽, podendo ordená-los das seguinte maneiras:

1. 🏐, 🏀 e ⚽
2. 🏐, ⚽ e 🏀
3. 🏀, 🏐 e ⚽
4. 🏀, ⚽ e 🏐
5. ⚽, 🏀 e 🏐
6. ⚽, 🏐 e 🏀

Logo, para 3 objetos, é possível ordená-los de 6 maneiras diferentes. Também chamamos essa ação de ordenar pelo nome permutar, cujo caso geral para \(n\) objetos tem a fórmula:

\(P_n=n!\)

• \(P\) = Permutação
• \(n\) = Número de objetos permutados

Veja exemplos de permutações com possíveis números para \(n\):

• \(P_5=5!=120\)
• \(P_6=6!=720\)
• \(P_9=9!=362880\)

Um problema comum de permutação é descobrir a quantidade de anagramas de uma palavra. Anagrama é uma espécie de jogo de palavras, criado com a reorganização das letras, que produz outras palavras ou expressões, utilizando todas as letras originais exatamente uma vez.

Assim, um possível anagrama para a palavra LORDE seria ODLER. Agora, para calcular o número total de anagramas de LORDE basta contar o número de letras e calcular a sua permutação:

LORDE = 5 letras logo \(P_5=5!=120\), assim LORDE tem 120 anagramas possíveis.

🚨O cálculo funcionou pois a palavra LORDE não possui letras repetidas. Se houver, é necessário considerar a permutação com repetição.

Permutação com repetição

Permutação com repetição é um conceito da Matemática aplicável quando estamos organizando um conjunto de elementos em que alguns deles se repetem.

Diferentemente das permutações simples, onde todos os elementos são distintos, nas permutações com repetição, a presença de elementos idênticos afeta o número total de arranjos possíveis.

A fórmula geral para calcular o número de permutações com repetição é:

\(P_n^{k_1,\;k_2,\;...,\;k_r}=\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot...\cdot k_r!}\)

Onde:

• \(P\) = Permutação
• \(n\) é o número total de elementos no conjunto
• \(k_1​,\;k_2​,\;…,\;k_r\)​ são as quantidades de elementos repetidos de cada tipo

Veja um exemplo:

Queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra BANANA.

• Número total de letras (n): 6
• Letras repetidas: "A" aparece 3 vezes e "N" aparece 2 vezes

Aplicando a fórmula:

\(P_6^{3,\;2}=\dfrac{6!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot\not{3!}}{\not{3!}\cdot 2!}=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{2}=\dfrac{6\cdot 5\cdot 2}{1}=60\)

Dessa maneira, a palavra "BANANA" possui 60 anagramas.

Permutação circular

Na permutação circular, os elementos são organizados em um círculo, de modo que a ordem deles é importante, mas não há um ponto de início ou fim fixo.

Isso significa que duas disposições são consideradas idênticas, se uma puder ser transformada na outra por rotação. Veja no gif abaixo que é possível rotacionar os elementos e continuar com a mesma ordenação:

Se tivermos quatro elementos A, B, C e D na permutação circular, as disposições (A, B, C, D), (B, C, D, A), (C, D, A, B) e (D, A, B, C ) são as mesmas, pois uma pode ser obtida pela rotação das outras.

Para calcular o número de permutações circulares de \(n\) elementos distintos, usamos a fórmula:

\(PC_n=(n-1)!\)

• \(PC\) = Permutação circular
• \(n\) = Número total de elementos no conjunto

Arranjos

Arranjos são um conceito fundamental na análise combinatória, e se referem à contagem das diferentes maneiras de organizar um subconjunto de elementos do conjunto maior, considerando a ordem desses elementos.

Dado um conjunto com \(n\) elementos distintos, o número de arranjos possíveis de \(p\) elementos (onde \(p\leq n\)) é dado pela fórmula:

\(A_{n,\;p}=\dfrac{n!}{\left(n-p\right)!}\)

Veja um exemplo:

Em uma corrida com 20 participantes, de quantas maneira diferentes podemos organizar o pódio?

Trata-se de um arranjo, pois o número de espaços para organizar os elementos é diferente do número total dos elementos, mas a ordem dos elementos importa. Nesta questão, 20 será o valor de \(n\), pois é o número de participantes totais, e \(p\) será igual a 3, já que um pódio dispõe de 3 lugares.

Utilizando a fórmula do arranjo temos que:

\(A_{20,\;3}=\dfrac{20!}{(20-3)!}=\dfrac{20!}{17!}=\dfrac{20\cdot 19\cdot 18\cdot \not{17!}}{\not{17!}}=\dfrac{20\cdot 19 \cdot 18}{1}=6840\)

Dessa maneira, podemos organizar o pódio de 6840 formas diferentes.

Combinações

A combinação se refere à seleção de elementos de um conjunto maior, onde a ordem dos elementos selecionados não importa. Diferentemente dos arranjos, nas combinações, a ordem dos elementos selecionados não altera o resultado.

Em um conjunto com \(n\) elementos distintos, o número de combinações possíveis de \(p\) elementos desse conjunto (onde \(p\leq n\)) é dado pela fórmula:

\(C_{n,\;p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot\left(n-p\right)!}\)

Veja um exemplo:

Em uma sala de aula com 30 estudantes, a professora deseja separá-los em duplas. Quantas duplas diferentes é possível formar?

Trata-se de uma combinação, pois a ordem das duplas não importa, seja João e Maria ou Maria e João, tal dupla se configura a mesma. Nesta questão, nosso \(n\) é o total de alunos cujo o valor é 30, e o \(p\) é igual a 2, pois é o valor que configura uma dupla.

Aplicando a fórmula de combinação temos que:

\(C_{30,\;2}=\dfrac{30!}{2!\cdot \left(30-2\right)!}=\dfrac{30!}{2!\cdot 28!}=\dfrac{30\cdot 29\cdot \not{28!}}{2\cdot \not{28!}}=\dfrac{30\cdot 29}{2}=\dfrac{15\cdot 29}{1}=435\)

Assim, podemos formar 435 duplas diferentes com 30 alunos.

Análise combinatória e probabilidade

Devemos usar a análise combinatória em problemas de probabilidade quando é necessário contar o número de maneiras possíveis de organizar, selecionar ou combinar elementos de um conjunto. Ou seja, quando vamos calcular a probabilidade de um evento específico.

Aqui estão algumas situações em usamos análises combinatórias nos problemas de probabilidade:

1. Eventos com múltiplas etapas: quando um evento é composto por várias etapas independentes e você precisa calcular a probabilidade total de o evento ocorrer.
2. Seleção de elementos: para calcular a probabilidade de selecionar um subconjunto específico de elementos de um conjunto maior (como a probabilidade de escolher uma combinação vencedora em um jogo de loteria).
3. Arranjos e permutações: a ordem dos elementos é importante, e você precisa calcular a probabilidade de um arranjo ou uma permutação ocorrer (como a probabilidade de um resultado específico em uma corrida de cavalos).
4. Eventos com repetição: quando elementos podem ser repetidos, e você precisa calcular a probabilidade de um evento ocorrer considerando essa repetição (como a probabilidade de obter uma determinada mão em um jogo de pôquer).
5. Problemas de distribuição: para calcular a probabilidade de distribuir elementos em grupos específicos (como a probabilidade de distribuir bolas em caixas de maneiras específicas).

Resumo: análise combinatória

Veja os principais pontos sobre o assunto que você leu aqui:

• a análise combinatória é a campo da Matemática que estuda problemas de contagem;
• o princípio aditivo indica que deve ser efetuada uma soma para contabilizar o número de escolhas, podendo ser representado pelo conectivo "OU";
• o princípio multiplicativo indica que deve ser efetuado um produto, podendo representado pelo conectivo "E";
• seja um número inteiro \(n\) o seu fatorial é \(n!\) representando o produto com todos o números inteiro maiores ou iguais a n, com exceção do zero;
• a fórmula da permutação simples é \(P_n=n!\)
• a fórmula da permutação com repetição é \(P_n^{k_1,\;...,\;k_r}=\dfrac{n!}{k_1!\cdot ...\cdot k_r!}\)
• a fórmula da permutação circular é \(PC_n=(n-1)!\)
• o arranjo tem a fórmula: \(A_{n,\;p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
• a fórmula da combinação é \(C_{n,\;p}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}\)

Como a análise combinatória cai no Enem e nos vestibulares?

A análise combinatória é um tópico recorrente na Matemática do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e nos diversos vestibulares do país, já que a utilizamos para resolver problemas de contagem e probabilidade.

No Enem, as questões trazem situações do cotidiano ou contextos interdisciplinares, exigindo do aluno a habilidade de interpretar o enunciado e aplicar conceitos como fatorial, arranjos, combinações e permutações.

Enquanto nos vestibulares mais tradicionais, a abordagem costuma ser mais direta, porém, ainda requerem entendimento dos princípios da análise combinatória para a resolução de problemas com agrupamentos, distribuições e possibilidades.

Exemplo 1

(Enem PPL)  Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um vencedor.

Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em que houve ganhador é igual a

a) 64.   

b) 74.   

c) 254.   

d) 274.   

e) 634.   

Resposta: [C]
Primeiro, calculamos o número total de partidas, dessa forma, como cada time joga 2 vezes contra o outro, devemos considerar o arranjo do número total de times separados 2 a 2.

Pela fórmula do arranjo \(A_{n,\;p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) temos que \(n=20\) e \(p=2\), assim:

\(A_{20,\;2}=\dfrac{20!}{(20-2)!}=\dfrac{20\cdot 19\cdot \not{18!}}{\not{18!}}=\dfrac{20\cdot 19}{1}=380\)

Sabendo que ocorreram 380 partidas e que destas 126 empataram, o número de partidas que tiveram um ganhador é \(380-126=254\)

Logo, 254 partidas tiveram um ganhador.

Exemplo 2

(Efomm) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres?

a) 210.

b) 250.

c) 371.

d) 462.

e) 756.

Reposta: [C]
Como devemos ter, no mínimom 2 mulheres, os possíveis casos são:

I) 2 mulheres e 4 homens: \(C_{4,\;2}\cdot C_{7,\;4}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot \dfrac{7!}{4!\cdot 3!}=6\cdot 35=210\)

II) 3 mulheres e 3 homens: \(C_{4,\;3}\cdot C_{7,\;4}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \dfrac{7!}{4!\cdot 3!}=4\cdot35=140\)

III) 4 mulheres e 2 homens: \(C_4,\;4\cdot C_{7,\;2}=\dfrac{4!}{2!\cdot 0!}\cdot \dfrac{7!}{2!\cdot 5!}=1\cdot21=21\)

Para cada caso, calculamos a combinação do total de mulheres pela quantidade de cada caso, e seguimos o mesmo para os homens.

Logo, o número de maneiras de se escolher 6 pessoas, com pelo menos 2 mulheres, será dado por: