Soma de frações: guia prática de como calcular

No mundo dos vestibulares e do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), entender a soma frações é fundamental, pois elas aparecem em várias questões.

As frações são parte essencial da Matemática e estão mais presentes no seu dia a dia do que você imagina, seja para dividir aquela deliciosa pizza com os amigos até calcular a quantidade exata de ingredientes para uma receita.

Quer saber como elas funcionam? Vamos explorar isso juntos!

O que são frações?

As frações são números que representam partições de algum número em determinadas parcelas iguais. A notação mais usada para representar frações é uma barra horizontal, em que o numerador é o número que localiza-se na parte superior da barra e representa o dividendo; já o denominador localiza-se embaixo da barra e simboliza em quantas parcelas o numerador será dividido.

\[ \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} \]

Exemplo

A fração \( \dfrac{1}{5} \) é chamada de um quinto e significa que a unidade foi dividida em 5 partes congruentes, então um quinto representa 1 parte de 5. Além disso, essa fração representa o número decimal \(0,2\) pois a fração é também é uma divisão, e efetuando a divisão de 1 para 5, obtemos \( 0,2 \).

Dessa forma, todo número racional, escrito na forma decimal, podem ser representados por alguma fração e, como já deve ter imaginado, não somente uma, mas infinitas representações. Para ser mais preciso, em estudos mais avançados, as frações são vistas como classes, que em resumo é um conjunto de coisas equivalentes.

Isso significa que as frações \( \dfrac{1}{2} \), \( \dfrac{3}{6} \),\( \dfrac{15}{30} \), e \( \dfrac{60}{120} \) são todas equivalentes, pois, se você realizar a divisão entre cada numerador e denominador, todas elas serão iguais a \( 0,5 \). Ou seja, existe uma proporcionalidade entre o numerador e o denominador, de forma que para a fração \(\dfrac{1}{2}\), todas que forem equivalentes a ela serão da forma

\[ \dfrac{1\times k}{2 \times k}\]

Note que para uma fração ser equivalente a alguma outra fração, o numerador e denominador devem ser multiplicados pelo mesmo número.

Simplificação de fração

Como já vimos, qualquer número decimal racional tem infinitas representações fracionárias e, dessa maneira, a simplificação de fração é usada para determinar a menor fração inteira possível, tanto no numerador como no denominador, a qual denominamos fração irredutível.

Para isso, devemos dividir o numerador e o denominador por um número, de forma que, ao dividir o numerador e o denominador por esse número, ambos resultem em números inteiros. Dividimos novamente por outro número ou pelo mesmo número até que não seja possível realizar as duas divisões simultaneamente pelo mesmo número.

Uma forma prática de resolver essa divisão é através do Máximo Divisor Comum. Em resumo, o MDC é o maior número do qual podemos dividir simultaneamente outros números inteiros de forma que o resultado continue sendo um número inteiro.

Para calcular o MDC, vamos utilizar uma técnica muito semelhante a do MMC:

1. Liste lado a lado os números envolvidos e faça uma linha perpendicular para separar os divisores dos números que vamos trabalhar;
2. Faça a divisão usando fatores primos, de forma que todos os números possam ser divididos simultaneamente;
3. Repita o processo até não ser mais possível dividir de forma simultânea, listamos abaixo os casos em que devemos parar com as divisões:
   1. Um dos números chegou a 1
   2. Não há mais fatores primos comuns
4. Os números obtidos através dessa fatoração, serão os valores finais da fração irredutível.

Exemplo

Vamos simplificar a fração \( \dfrac{42}{24} \), que é uma fração redutível para transformá-la em uma fração irredutível. Os números envolvidos para o cálculo do MDC são 42 e 24. Dessa forma:

Com isso, temos que a fração irredutível que representa \( \dfrac{42}{24} \) é \( \dfrac{7}{4} \). Repare que ao realizarmos a multiplicação entre os fatores primos 2 e 3, obtemos \( 2 \times 3 = 6 \), e olha só o que acontece quando multiplicamos \( 6 \) pelos valores resultantes.

\[ 6 \times 7 = 42 \\ 6 \times 4 = 24 \]

Quando mencionamos as frações equivalentes elas eram da forma \( \dfrac{a \times k}{b \times k} \) com \( a, b \in \mathbb{Z} \). Então, no caso dos números da fração \(42\) e \(24\), o \(k\) seria o 6 que encontramos no MDC, que é o valor “simplificável” dessa fração.

Para obter a fração \( \dfrac{7}{4}\) simplesmente dividimos o numerador e o denominador pelo fator \( k = 6 \).

Agora, imagine a seguinte situação: você precisa montar o maior número de equipes que sejam compostas por pessoas de 15 e 25 anos, de forma que em todas as equipes possua a mesma quantidade de pessoas de cada idade.

Temos 30 pessoas de 15 anos e 45 pessoas de 25 anos. Como você resolveria esse problema?

A ideia aqui é abusar das técnicas de MDC. Repare que o \( mdc\left(30, 45\right) = 15 \), pois o produto entre os fatores primos \( 3\times 5 = 15 \)

Como temos 30 pessoas de 15 anos e 45 pessoas com 25 anos, cada grupo será composto por 2 pessoas de 15 anos e 3 pessoas de 25 anos, totalizando 15 grupos. Dessa forma, conseguimos construir o maior número de grupos mantendo as características necessárias.

Como somar frações?

A soma de frações pode parecer um pouco complicada à primeira vista, mas é um processo bem simples quando você pega o jeito. Vamos desmistificar isso juntos!

A ideia é aprender a lidar com numeradores e denominadores, sejam eles iguais ou diferentes, de forma clara e objetiva. Assim, você vai poder resolver questões de frações com facilidade, seja no Enem, nos vestibulares ou até mesmo na sua vida cotidiana.

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Fórmulas matemáticas para Enem e vestibulares

Soma de frações com denominadores iguais

Imagine que você saiu com amigos para uma noite de pizzas e comeu 2 pedaços de uma pizza com 8 fatias; e seu amigo comeu apenas 1 fatia dessa mesma pizza. Juntos, vocês comeram 3 fatias de um total de 8, ou seja,\(\dfrac{3}{8}\).

Podemos obter esse resultado, quando os denominadores são iguais, apenas somando os numeradores de cada fração.

\[ \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2+1}{8} = \dfrac{3}{8} \]

Se os denominadores são os mesmos, simplesmente realizamos a soma entre os numeradores, que, por sinal, são números inteiros (não significa que a fração é um número inteiro, apenas as entradas dos numeradores e denominadores).

Soma de frações com denominadores diferentes

Quando as frações possuem denominadores diferentes, o processo é um pouco mais complexo.

Vamos pensar novamente no problema das pizzas, porém com um cenário diferente:

uma das pizzas veio dividida em 6 pedaços, e a outra pizza foi dividida em 8 pedaços. Se você comer uma fatia de cada pizza, você saberia dizer se você comeu \(\dfrac{2}{6}\) de pizza? Ou \(\dfrac{2}{8}\)?

Essa é a grande questão: como você pode ver nas imagens acima, as fatias não possuem o mesmo tamanho, pois as pizzas foram divididas de forma diferente. E quanto mais divisões, menores serão os pedaços de pizza!

Veja: da primeira pizza, você comeu \(\dfrac{1}{6}\), e da segunda pizza, \(\dfrac{1}{8}\). Para poder somar essas duas frações (que possuem denominadores diferentes) devemos igualar os denominadores, e faremos isso realizando uma multiplicação "super" complexa: multiplicar por 1!

"Mas multiplicar por 1 não vai mudar nada!", você pode pensar. Em partes, sim. Mas com várias frações podem representar o mesmo valor, o número 1 pode ser representado por \( \dfrac{2}{2}, \dfrac{3}{3}, \dfrac{15}{15}, \dots \) e assim por diante.

Essa multiplicação faz com que a fração que estamos trabalhando mude de aparência para uma situação que é mais conveniente, como se fosse uma troca de skin do seu personagem favorito em algum jogo. Aqui, queremos trocar a skin das frações com denominadores diferentes, de forma que elas tenham os mesmos denominadores.

Compare as duas tabuadas, do 6 e do 8 abaixo:

\[ 6 \rightarrow 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 \\ 8 \rightarrow 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 \]

Podemos observar que existem vários números presentes nessas tabuadas, como o 24 e 48. Vamos ficar de olho neles, os múltiplos comuns.

Calculando o MMC então entre 6 e 8, temos

logo, nossa soma de frações será

\[ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4+3}{24} = \dfrac{7}{24} \]

Interpretando o que essa fração significa, é como se você tivesse pedido para o garçom: “Corta cada uma das pizzas em 24 pedaços”, assim, você comeria 4 fatias (da divisão de 24) da primeira pizza, e 3 fatias da segunda pizza.

Passo a passo para a soma de frações

Veja com ainda mais profundidade como é feita a soma de frações para denominadores iguais e diferentes.

Denominadores iguais

Quando as frações têm denominadores iguais, basta somar os numeradores e manter o denominador.

Exemplo: \( \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2+1}{8} = \dfrac{3}{8} \).

Denominadores diferentes

• Iguale os denominadores encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC);
• Ajuste os numeradores de acordo com o novo denominador;
• Some os numeradores e mantenha o denominador comum.

Exemplo: \( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} \). Encontre o MMC de 6 e 8, que é 24. Ajuste as frações para ter o mesmo denominador: \( \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24} \) e \( \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24} \). Agora some: \( \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{7}{24} \).

Extra: como calcular subtração de frações

Subtrair frações pode parecer desafiador à primeira vista, mas ideia é bem similar à soma de frações: precisamos garantir que as frações tenham denominadores iguais antes de subtrair os numeradores.

Quando as frações têm denominadores iguais, o processo é bem direto. Basta subtrair os numeradores e manter o denominador.

Vamos imaginar que você tem \(\dfrac{5}{8}\) de uma barra de chocolate e decide comer \(\dfrac{2}{8}\) dessa barra. Para descobrir quanto resta, subtraia os numeradores:

\[ \dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{5-2}{8} = \dfrac{3}{8} \]

Aqui, como os denominadores são iguais, a subtração é feita apenas entre os numeradores, mantendo o denominador igual.

Mas quando as frações têm denominadores diferentes, precisamos ter um denominador comum antes de realizar a subtração. Para isso, busque o MMC dos denominadores.

Suponha que você tem \(\dfrac{3}{5}\) de uma pizza e quer subtrair \(\dfrac{1}{4}\) dessa quantidade. Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores 5 e 4, que é 20. Em seguida, ajustamos os numeradores de acordo com o novo denominador:

\[ \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{4} \]

Calculando o MMC entre 5 e 4, temos \( mmc(5, 4) = 20 \). Assim, ajustamos as frações:

\[ \dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20} \]

\[ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20} \]

E agora podemos subtrair:

\[ \dfrac{12}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{12-5}{20} = \dfrac{7}{20} \]

Como a soma de frações cai no Enem e nos vestibulares

As frações são muito presentes no Enem e nos vestibulares, praticamente um pré-requisito para questões que envolvem matrizes, probabilidade, progressão geométrica, aritmética e outras. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1

(Enem PPL 2017) Duas amigas irão fazer um curso no exterior durante 60 dias e usarão a mesma marca de xampu. Uma delas gasta um frasco desse xampu em 10 dias enquanto que a outra leva 20 dias para gastar um frasco com o mesmo volume. Elas combinam de usar, conjuntamente, cada frasco de xampu que levarem.

O número mínimo de frascos de xampu que deverão levar nessa viagem é

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9

Resposta: [E]
Se a primeira gasta \( \dfrac{1}{10} \) do volume do frasco por dia e a segunda \( \dfrac{1}{20} \) do volume do frasco por dia, então o número mínimo de frascos de xampu que deverão levar na viagem é

\[ 60 \times \left( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20} \right) \Rightarrow 60 \times \dfrac{2+1}{20} = 3 \times 3 = 9 \].

Exemplo 2

(IFCE 2011) Somando-se \(3\) ao numerador de uma fração, ela se torna equivalente a \(1\); somando-se 3 ao denominador, ela se torna equivalente a \( \dfrac{2}{3} \), então a fração é:

a) \( \dfrac{15}{12} \)
b) \( \dfrac{12}{15} \)
c) \( -\dfrac{13}{15} \)
d) \( \dfrac{15}{13} \)
e) \( \dfrac{14}{13} \)

Resposta: [B]
Seja \(n\) e \(d\) o numerador e o denominador da fração
\[\dfrac{n}{d} \]
Somando 3 ao numerador chegamos em \( \dfrac{3+n}{d} = 1 \).

Do mesmo modo, somando 3 ao denominador da fração temos
\( \dfrac{n}{3+d} = \dfrac{2}{3}.

Então, temos que

\begin{eqnarray}
\dfrac{3+n}{d} = 1 \Rightarrow 3 + n = d \\
\dfrac{n}{3+d} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3n = 6 + 2d
\end{eqnarray}\).

Substituindo \(d\) na segunda expressão, temos \( 3n = 6 + 2 \left( 3 + n \right) \Rightarrow n = 12\).

Substituindo n = 12 na primeira expressão, temos que \(3 + 12 = d \Rightarrow d = 15 \). Dessa forma, a fração que desejamos encontrar é \( \dfrac{n}{d} = \dfrac{12}{15}\).