MMC: o que é, como calcular e suas aplicações

Você já ouviu falar em MMC (mínimo múltiplo comum)? Sabe como calculá-lo e aplicar o conceito no dia a dia? Caso ainda não saiba, não se preocupe! Nessa publicação, explicamos tudo sobre o tema, com exemplos e dicas.

Apesar de ser um conteúdo que aprendemos no Ensino Fundamental, ele é essencial para resolver diversas questões dos vestibulares e do Enem, principalmente quando precisamos fazer cálculos que envolvem frações ou encontrar números em comum entre dois conjuntos. Por isso, não deixe-o de fora dos estudos!

Mas antes de mergulharmos de vez no tema do MMC, precisamos entender a ideia de multiplicidade e fazer uma breve revisão sobre números inteiros e suas propriedades. Vamos nessa?

Introdução aos conceitos relacionados ao MMC

Temos que qualquer número inteiro pode ser enquadrado em duas classificações:

• Números primos \( \left(2,3,5,7,11, \dots \right) \), que são aqueles que somente podem ser divididos por 1 ou por si próprio;
• Números compostos, que são obtidos através da multiplicação de números primos, como \( 6 = 2 \times 3 \) ou ainda \( 35 = 5 \times 7 \).

Cada número primo que compõem os números compostos é denominado fator primo, elemento importante para garantir a unicidade da decomposição dos números.

Além disso, os fatores primos são essenciais para sabermos se dois números são múltiplos entre si ou múltiplos de um terceiro.

Múltiplos

Assim, podemos dizer que um número é múltiplo de outro, quando parte da decomposição de um deles (normalmente o maior) possui, ao menos, todos os fatores primos do outro.

Também dizemos que dois números distintos são múltiplos de um certo \( a \in \mathbb{Z} \) quando a decomposição de ambos possui no mínimo os fatores de \( a \).

Para exemplificar, observe que 6 e 10 são múltiplos de 2, pois \( 6 = 2 \times 3 \) e \( 10 = 2 \times 5 \). Repare que ambos possuem ao menos um fator 2 que garante a multiplicidade.

De forma semelhante, temos que 30 é múltiplo de 6, pois \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \) e \( 6 = 2 \times 3 \). Nesse exemplo, vemos que todos os fatores de 6 também são fatores de 30, o que garante um ser múltiplo do outro.

Algumas propriedades diretas sobre os números inteiros são:

• Todos os números inteiros são múltiplos de 1;
• Todo número inteiro é múltiplo de si mesmo.

A primeira afirmação se dá pelo fato de que 1 é o elemento neutro da multiplicação, o que significa que a todo número inteiro \( a \in \mathbb{Z} \) pode ser visto como \( a = 1 \times a \). Já a segunda afirmação, temos devido a estarmos olhando para o mesmo número, que obviamente terá a mesma decomposição.

Múltiplos em comum

Acredite se quiser, mas há entre os números inteiros, infinitos números que são múltiplos entre si, se pararmos para analisar apenas os números 2 e 3, teremos os seguinte múltiplos:

• \( M_2 = \left\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \dots \right\} \)
• \( M_3 = \left\{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \right\} \)

Como você pode reparar, os números que são comuns a ambos são \( \left\{ 6, 12, 18, 24, \cdots \right\} \). E não acaba por aí, aquelas reticências \( (\dots ) \) nos indicam que essa lista de números não se encerra.

👉 Leia também: Matemática básica: o que é, conteúdos e como estudar

O que é MMC?

Nesse momento, já estamos com ferramentas suficientes para começarmos a pensar em MMC. Essa sigla significa mínimo múltiplo comum. Traduzindo, de todos os infinitos múltiplos que existem entre dois ou  mais números, o menor positivo será o mínimo múltiplo comum.

Falando de forma mais técnica, o mínimo múltiplo comum é um número inteiro que possui todos os fatores de cada um dos números.

Vamos analisar o MMC entre 12 e 50. Decompondo os números mencionados, temos \(12 = 2^2 \times 3^1 \) e \( 50 = 2^1 \times 5^2 \).

Repare que os fatores primos envolvidos são 2, 3 e 5. Agora devemos avaliar qual é o maior expoente de cada um dos fatores primos. Porém, os fatores 3 e 5, aparentemente não fazem parte de ambos os números para dizermos qual possui o com maior expoente.

Na verdade, eles estão escondidos: quando algum número não for um fator próprio de uma certa decomposição, vamos considerar que a potência desse fator é zero. Assim, selecionando o maior de cada um deles, temos:

• Para o fator 2: entre 1 e 2, a maior potência é 2;
• Para o fator 3: entre 0 e 1, a maior potência é 1;
• Para o fator 5: entre 0 e 2, a maior potência é 2.

Dessa forma, o número que determina o mínimo múltiplo comum entre 12 e 50 é \( 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 300 \).

Propriedades do MMC

O MMC possui propriedades interessantes que podem ajudar você a ganhar muito tempo ao resolver exercícios de provas como o Enem e vestibulares.

A primeira delas é que o mínimo múltiplo comum entre 1 e qualquer número inteiro \( a \) é sempre igual a \( a \), ou seja: \[ mmc\left( 1, a \right) = a \]

Para todo \( a \in \mathbb{Z} \). Essa propriedade é muito utilizada quando estamos somando frações com números inteiros, veja bem: para somar \(1 + \dfrac{1}{3} \), primeiramente devemos ver \( 1 \) como uma fração \( \dfrac{1}{1} \). Dessa forma, podemos realizar a soma entre as duas frações realizando o MMC entre os denominadores.

Graças à propriedade que acabamos de estudar, podemos concluir que o denominador comum a ambas as frações é \( mmc(1, 3) = 3 \), podemos então simplesmente multiplicar pelo número inteiro e realizar a operação entre os numeradores:

\[ 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 1}{3} = \dfrac{4}{3} \]

Outra propriedade muito importante é que, ao calcularmos o mínimo múltiplo comum entre dois números primos distintos, sempre será igual ao produto entre os dois primos. Em outras palavras:

Sejam \( p, q \in \mathbb{Z} \) dois números primos distintos. O mínimo múltiplo comum entre ambos é \( mmc (p, q) = p \times q \)

Essa propriedade se faz muito útil também para realizarmos somas entre frações irredutíveis, por exemplo, \( \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{7} \). Temos que os denominadores de cada fração são números primos distintos, fazendo com que o \( mmc(5, 7) = 35 \).

Dessa forma, podemos realizar essa operação simplesmente multiplicando os denominadores, multiplicando de forma cruzada os numeradores e denominadores, e realizando a operação entre as frações:

\[ \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{7 \times 3 – 5 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{11}{35} \]

Outra propriedade bastante útil na operação entre números envolvendo multiplicidade, relaciona o MMC entre números múltiplos.

Quando um certo número \( m \) for múltiplo de \( n \), com \( n < m \), o mínimo múltiplo comum entre eles será sempre o maior número deles, ou seja:

Se \(n < m \in \mathbb{Z} \) e \( m = n \times k \), onde \(k\) também é um número inteiro. Então, o \( mmc(n, m) = m \)

Como calcular o MMC

Agora que já temos um vasto conhecimento sobre propriedades e definições sobre mínimo múltiplo comum, podemos explorar as diferentes maneiras de encontrar esses valores.

Método de decomposição em fatores primos

Para calcular o MMC de um número, é importante entendermos o processo de decomposição dos números em produto de fatores primos. Sendo assim, um número inteiro positivo maior do que um pode ser decomposto em um produto de fatores primos que são divisores desse número.

Então, usando o número 210 como exemplo, devemos dividir esse número pelos seus divisores que são números primos. Como o número é par, ele é divisível pelo número primo 2 e, portanto:

\[ 210 = 2\cdot 105 \]

Observe que o resultado da divisão é divisível por 3, dessa forma:

\[ 210 = 2\cdot 3 \cdot 35 \]

Da mesma maneira, o resultado é divisível por outro primo, o número 5:

\[ 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \]

Assim, a decomposição do número 210 em fatores primos pode ser representada por \( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \).

Agora imagine ter que fazer esse processo toda vez para todos os números envolvidos... Você concorda que é muito trabalhoso, certo? Então será que não há uma forma de fazermos essa fatoração simultânea? E a resposta é SIM! Veja no próximo tópico como isso é possível.

Método da linha (Método das divisões sucessivas)

Até agora, aprendemos a calcular o MMC fatorando cada um dos números e realizando o produto entre cada fator elevado a seu maior expoente. Essa forma pode ser muito demorada, dependendo do tamanho dos números trabalhados.

Porém, há uma outra forma de fazer essa decomposição:

1. Primeiro, escreva os números envolvidos lado a lado, separados por vírgula;
2. Desenhe uma linha para separar os números a serem fatorados de seus fatores;
3. Realize as divisões por fatores primos;
4. Multiplique os fatores primos obtidos.

Vamos entender esse diagrama encontrando o mínimo múltiplo comum entre \( 4, 10\) e \( 12 \).

À direita da linha, vamos colocar os fatores primos que dividem cada um dos números. A vantagem dessa método é que podermos fazer divisões simultâneas. Vamos continuar até todos os números chegarem a \(1\):

Agora, basta realizar o produto entre os fatores primos \( 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 \). Observando com atenção, o produto de \( 2 \times 2 = 2^2 \) é a maior potência de \(2\), presente em \(12\), o fator \( 3^1 \) é a maior potência de \(3\), também presente em 12, e \(5^1\) é a maior potência de \(5\), presente em \(10\).

MMC de números que terminam em zero

Uma dica para o Enem e vestibulares é calcular o MMC de números que terminam em zero. Sempre que os números envolvidos terminarem com zeros, eles têm ao menos um fator \(2\) e \(5\). Essa quantidade de fatores vai depender diretamente da quantidade de zeros que o número terminar.

Nossa referência de zeros será o número que possui a maior quantidade. Calculando o MMC entre \(200\) e \(4000\), temos:

Como a maior quantidade de zeros é \( 3\), temos que a potência de 2 e 5 será 3. Isso faz com que ganhemos muito tempo ao fatorar os números, pois conseguimos acelerar algumas etapas.

Repare que essa propriedade nos poupou o tempo de fazermos 6 divisões simultâneas. Assim, resta agora realizar o produto entre os fatores, obtendo \( mmc(200, 4000) = 2^5 \times 5^3 = 4.000 \).

Aplicações do MMC na Matemática

Na Matemática, o MMC é muito usado para adições e subtrações de frações com denominadores distintos. Analise o exemplo da soma de frações a seguir:

\[ \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} \]

Para realizar a soma entre frações, precisamos igualar os denominadores encontrando o MMC entre eles. Como você pode perceber, 4 e 8 são múltiplos, o que implica em \( mmc( 4, 8 ) = 8\). Dessa forma:

\[ \dfrac{6 + 5}{8} = \dfrac{11}{8} \]

Outra aplicação importante é a ideia de encontrar coisas que acontecem simultaneamente. Por exemplo, dois funcionários de uma empresa possuem folgas conforme os dias trabalhados. O primeiro funcionário recebe um dia de folga a cada 12 dias trabalhados, enquanto o segundo funcionário recebe uma folga a cada 15 dias trabalhados.

Para encontrar quando os funcionários vão folgar juntos, devemos calcular o MMC entre 12 e 15:

Dessa forma, o \( mmc(12, 15) = 60 \), o que significa que eles poderão folgar junto a cada 60 dias corridos.

👉 Leia também: Matemática no Enem: assuntos que mais caem na prova

Resumo: MMC

Veja as principais informações sobre MMC:

• O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) se refere ao menor número inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números;
• Os números inteiros podem ser primos, como 2, 3, 5, 7, 11, que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos, ou compostos, como 6 (2x3) e 35 (5x7), que são produtos de números primos;
• A decomposição em fatores primos é essencial para determinar se dois números são múltiplos entre si;
• Um número é múltiplo de outro se a decomposição do maior contém todos os fatores primos do menor. Por exemplo, 6 e 10 são múltiplos de 2, pois suas decomposições incluem o fator 2;
• O MMC é o menor número positivo que é múltiplo comum de dois ou mais números. Para calculá-lo, identificamos todos os fatores primos dos números e selecionamos o maior expoente de cada fator. Por exemplo, para 12 (2² x 3¹) e 50 (2¹ x 5²), o MMC é 2² x 3¹ x 5² = 300;
• O MMC é usado para somar e subtrair frações com denominadores diferentes, e para determinar quando eventos que ocorrem em intervalos regulares acontecem simultaneamente;
• Para calcular o MMC de forma eficiente, podemos usar a decomposição simultânea. Assim, escrevemos os números lado a lado. Em seguida, dividimos simultaneamente pelos fatores primos até que todos se tornem 1. Ao fim, o produto dos fatores primos obtidos será o MMC;
• Entre as principais propriedades do MMC estão:
  • O MMC entre 1 e qualquer número \( a \) é sempre \( a \).
  • Para dois números primos distintos \( p \) e \( q \), o MMC é \( p \times q \).
  • Se \( m \) é múltiplo de \( n \), então o MMC de \( n \) e \( m \) é \( m \).

Como o MMC cai no Enem e nos vestibulares

MMC é um pré-requisito de muitos conteúdos e um assunto fundamental da matemática básica. Apesar de o Enem não cobrar questões explícitas - por exemplo, "Calcule o MMC..." -, você irá precisar muito dele na operação de frações e quando precisar encontrar elementos comuns em determinados conjuntos.

Nos vestibulares, não é tão diferente! As principais questões costumam abordar esse tema, trazendo enunciados contextualizados e coerentes com a realidade. A seguir, veja exemplo de duas questões sobre o assunto em diferentes processos seletivos.

Exemplo de questão sobre MMC no Enem

(Enem 2014 - Segunda aplicação) Em uma plantação de eucaliptos, um fazendeiro aplicará um fertilizante a cada 40 dias, um inseticida para combater as formigas a cada 32 dias e um pesticida a cada 28 dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um mesmo dia.

De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a primeira aplicação, os três produtos serão aplicados novamente no mesmo dia?

a) 100

b) 140

c) 400

d) 1.200

e) 35.840

Resposta: [D]
Com a interpretação da questão, temos que a resposta, em dias, é dada por:
\[ \begin{eqnarray} mmc \left( 40, 32, 28 \right) &=& mmc \left( 2^3 \times 5, 2^5, 2^2 \times 7 \right) \\ &=& 2^5 \times 5 \times 7 \\ &=& 1.120 \end{eqnarray} \]

Exemplo de questão sobre MMC no vestibular

(UPE 2017) Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as lâmpadas vermelhas acendem?

a) 6

b) 9

c) 12

d) 15

e) 18

Resposta: [B]
Para encontrar em quantos segundos as lâmpadas vão se acender simultaneamente, devemos calcular o MMC entre 45, 60 e 27. Dessa forma:

Multiplicando esses fatores, temos \( mmc(45, 60, 27) = 540s \). Convertendo para minutos, temos que \(540 \ s = \dfrac{540}{60} = 9 \ min \).

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