Prismas: classificação, fórmulas e exercícios resolvidos

Imagine um objeto que revela diferentes formas dependendo da maneira como é observado. Quando o olhamos de frente, ele parece uma coisa; de cima, é como se fosse outra. Um prisma é justamente essa figura que desafia a percepção, ou seja, um sólido geométrico com faces que se alinham em harmonia para criar uma estrutura única e fascinante.

Podemos dizer que o prisma é um exemplo de como a Matemática constrói formas a partir de conceitos simples, como superfícies planas e alinhamentos.

A seguir, vamos entender melhor sobre o tema, que pode aparecer no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), especialmente nas questões de geometria espacial.

O que é um prisma?

Um prisma é um sólido geométrico formado por duas bases congruentes e paralelas, conectadas por faces laterais que são paralelogramos. As bases podem ser de qualquer forma poligonal, e o nome do prisma é dado pela forma dessas bases.

Se as bases forem triangulares, temos um prisma triangular; se forem pentagonais, temos um prisma pentagonal, e assim por diante.

De maneira mais intuitiva, podemos construir um prisma conforme os passos a seguir:

1. Escolha qual polígono será a nossa base. Se escolher um quadrado, podemos colocá-lo em qualquer região do espaço, conforme a imagem a seguir.

2. Posicione a segunda base em um local diferente da primeira. A segunda base deve ser um polígono exatamente igual ao da primeira base e se manter em posição paralela .Veja na imagem a seguir:

3. Ligue cada vértice da primeira base com o vértice equivalente da segunda base, formando faces em formatos de paralelogramos, como no exemplo abaixo.

Prontíssimo, você acabou de montar o seu primeiro prisma! 😍

Este é um prisma de base quadrangular, reto e regular. Agora, vamos conhecer outros tipos de primas que estão presentes no vasto mundo da geometria espacial.

Tipos de prismas

Quando pensamos em prismas, é comum imaginar uma forma simples e simétrica. No entanto, por trás dessa aparente simplicidade, várias formas podem surgir a partir das diferenças em suas bases. Ou seja, cada mudança no formato e na posição da base transforma o prisma e cria novas possibilidades geométricas.

Essas variações não apenas influenciam a aparência do prisma, como também suas aplicações e propriedades.

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Prisma reto e prisma oblíquo

A inclinação das faces laterais de um prisma pode mudar completamente a forma como ele se apresenta - e é aqui que entram os conceitos de prismas retos e oblíquos.

Prisma reto
O prisma reto tem faces laterais perpendiculares às bases. As arestas laterais, que conectam as duas bases, formam ângulos de 90° com elas. As faces laterais de um prisma reto são sempre retângulos, e suas bases permanecem congruentes e paralelas.

Prisma oblíquo
O prisma oblíquo tem faces laterais que não são perpendiculares às bases. Nesse caso, as arestas laterais estão inclinadas, formando um ângulo diferente de 90° com as bases. As faces laterais do prisma oblíquo são paralelogramos, e, apesar da inclinação, as bases continuam congruentes e paralelas.

Prisma regular e prisma irregular

Confira as características dos prismas regulares e irregulares:

Prisma regular
É um tipo de prisma cujas bases são polígonos regulares, ou seja, todos os lados e ângulos das bases são iguais. Além disso, suas faces laterais são retângulos (no caso de prismas retos) ou paralelogramos (no caso de prismas oblíquos). Em resumo, as principais características de um prisma regular são:

• as bases são polígonos regulares (como quadrados, triângulos equiláteros, hexágonos regulares, etc.);
• as faces laterais são todas iguais entre si.

Prisma irregular
São aqueles cujas bases são polígonos irregulares, ou seja, os lados e os ângulos das bases não são iguais. As faces laterais podem ser diferentes em tamanho e forma, dependendo da inclinação do prisma e das dimensões das bases.

Fórmulas essenciais para prismas

As fórmulas essenciais para o cálculo de prismas ajudam a determinar propriedades como volume e área, sendo indispensáveis em várias aplicações práticas da Matemática e da Física.

Conceitualmente, essas fórmulas dependem da compreensão geométrica das bases, que podem ser formadas por diferentes polígonos, e da altura, que conecta as duas bases paralelas.

Para dominar o cálculo de prismas, é importante entender sobre geometria plana, já que o cálculo das áreas de figuras como triângulos, quadrados e hexágonos é o ponto de partida para desenvolver essas fórmulas.

Cálculo da área lateral e total

A área lateral \((A_L)\) corresponde à soma das áreas de todas as faces laterais do prisma.

Se o prisma é reto e tem faces laterais retangulares, a fórmula é: \(A_{\text{lateral}}=P_{\text{base}}\cdot h\), em que \(P_{\text{base}}\) é o perímetro da base e \(h\) é a altura do prisma:

A área total \(A_T\) é a soma da área lateral e das áreas das duas bases:

\(A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+2\cdot A_{\text{base}}\)

Exemplo: em um prisma regular, no qual a base é um triângulo equilátero, com lado medindo 3 m e sua altura medindo 6 m, podemos calcular sua área total da seguinte maneira ⤵️

Dado que sua base é um triângulo equilátero com o lado medindo 3 m, sabemos que o seu perímetro mede \(3\cdot 3=9\) e dado que a altura do prisma é 6 m, logo, a área lateral mede:

\(A_L=9\cdot 6=54\;m^2\)

Para calcular a área de um triângulo equilátero, lembre-se de usar a fórmula: \(A_t=\dfrac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}\) com \(l\)

Assim, área da base mede:

\(A_b=\dfrac{3^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;m^2\)

Sabendo a área lateral e a área da base, vamos calcular a área total do prisma:

\(A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+2\cdot A_{\text{base}}=54+2\cdot\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)

\(A_T=54+\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\;m^2\)

Cálculo do volume do prisma

O cálculo do volume de prismas é simples e segue um padrão geral, que envolve a área da base do prisma e sua altura. A fórmula básica para calcular o volume de um prisma é:

\[V=A_{\text{base}}\cdot h\]

Em que:

• \(V\) é o volume do prisma;
• \(A_{\text{base}}\)​ é a área da base, que pode ser qualquer polígono (triangular, quadrado, retangular, pentagonal, etc.);
• h é a altura do prisma, a distância entre as duas bases paralelas.

Exemplo: em um prisma regular de base hexagonal, com lado da base medindo 4 cm e altura medindo 10 cm, podemos calcular seu volume da seguinte maneira:

Para calcular a área da base, que é um hexágono, utilizamos a seguinte fórmula: \(A_h=\dfrac{6\cdot l^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\)

Sendo 4 cm o lado do hexágono, temos:

\(A_b=\dfrac{6\cdot 4^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\dfrac{6\cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{1}=24\cdot \sqrt{3}\;cm^2\)

Agora que já sabemos o valor da área da base, para encontrar o volume, basta multiplicar pela altura, que é 10 cm. Assim:

\(V=A_{\text{base}}\cdot h=24\cdot \sqrt{3}\;cm^2\cdot 10\;cm=240\cdot \sqrt{3}\;cm^3\)

Resumo: prismas

Vamos relembrar os pontos mais importantes que você leu até aqui?

• O prisma é um sólido geométrico formado por duas bases congruentes e paralelas, conectadas por faces laterais que são paralelogramos.
• Um prisma reto tem as faces laterais perpendiculares às bases.
• Já o prisma oblíquo tem as faces laterais não perpendiculares às bases.
• O prisma regular tem como base polígonos regulares, ou seja, todos os lados e ângulos das bases são iguais.
• No prisma irregular as bases são polígonos irregulares, ou seja, os lados e os ângulos das bases não são iguais.
• Para calcular a área lateral, utilizamos a fórmula: \(A_L=P_{base}\cdot h\)
• Já a área total, calculamos assim: \(A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+2\cdot A_{\text{base}}\)
• Calcula-se o volume a partir da seguinte fórmula: \(V=A_{\text{base}}\cdot h\)

Como os prismas caem no Enem e nos vestibulares

Nas questões sobre prismas, o Enem pode cobrar:

• cálculo de volume (fórmula geral: área da base × altura);
• cálculo da área total (área das faces laterais + área das bases);
• identificação de características dos prismas (número de faces, vértices e arestas);
• interpretação de situações reais que envolvem prismas, como caixas, piscinas e embalagens.

Veja alguns exemplos de exercícios a seguir:

Exemplo 1

(Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2.400 cm³?

a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.   
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.   
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.   
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.   
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.   

Resposta [C]
O primeiro passo é calcular o volume atual do tanque, para isto basta apenas multiplicar os valores das três dimensões atuais, assim temos:

\(40×30×(25−5)=40×30×20=24000cm^3\)

Sabendo que atualmente temos \(24000cm^3\) iremos adicionar \(2400cm^3\), assim \(24.000+2400=26400cm^3\)

Com a adição deste objeto, sabemos que o nível da água irá aumentar, assim chamaremos desta medida de h. Logo \(40×30×h=26400cm^3\)

\(1200×h=26400cm^3\)
\(h=\dfrac{26400}{1200}=22 cm\)

Desta forma a nova altura da água é 22 cm, como anteriormente ela estava com 20 cm, obteve um aumento de 2 cm.

Exemplo 2

(Enem PPL)  Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco retangular de altura 1 m e base de dimensões 20 m×10 m. Nas faces laterais e no fundo desta piscina será aplicado um líquido para a impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na razão de 1 L para cada 1 m² de área a ser impermeabilizada. O fornecedor A vende cada lata de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$ 145,00.

Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor a ser escolhido, de modo a se obter o menor custo.

a) Fabricante A, 26 latas.
b) Fabricante A, 46 latas.
c) Fabricante B, 17 latas.
d) Fabricante B, 18 latas.
e) Fabricante B, 31 latas.

Resposta [A]
Área a ser impermeabilizada:
\(A=20\cdot10+2\cdot 20\cdot1+2\cdot10\cdot1=260 m^2\) , onde serão usados 260 L de impermeabilizante.

Valor gasto com o fornecedor A:
Número de latas necessárias: 260 ÷ 10=26 latas.
Valor das latas: 100 ⋅ 26 = 2600 reais.

Valor gasto com o fornecedor B:
Número de latas necessárias: 260 ÷ 15 = 17,3333…, ou seja, serão necessárias 18 latas.

Valor das 19 latas: 145 ⋅ 18 = 2610 reais.