Propriedades, fórmulas e aplicações de uma esfera na geometria

No vasto campo da geometria espacial, a esfera emerge como figura de sublime perfeição e simetria. Desde as celestes que inspiraram astrônomos antigos até as microscópicas que intrigam cientistas modernos, estas formas tridimensionais fascinam e desafiam mentes curiosas.

Definida como o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto central, ela personifica a harmonia e a uniformidade no espaço. Além disso, parte das soluções de problemas envolvendo esferas recorrem a ferramentas da geometria plana, o que torna importante estar familiarizado com seus conceitos.

Suas propriedades matemáticas são profundas e suas aplicações variadas, que vão desde a física teórica até a engenharia prática, tornam-na um objeto de estudo indispensável e uma fonte constante de descobertas. É por meio da exploração das esferas, por exemplo, que se revela a beleza intrínseca das leis universais que governam o cosmos.

O que é uma esfera?

Definimos as esferas como o conjunto ou coleção de todos os pontos, que distam uma certa distância \((r)\) de um ponto predefinido (chamamos este ponto de centro e denotamos ele normalmente pela letra \((O)\).

Quando as representamos com um de seus raios, normalmente a orientação é igual a imagem acima, porém este raio pode ser representado de várias maneiras. Veja a imagem a seguir:

Embora pareça que alguns raios são menores ou maiores, todos possuem a mesma medida. Essa distorção ocorre pois estamos representando uma figura espacial (3D) em um visualização plana (2D). Porém, está preservada a ideia de que a distância que parte do centro e toca a "casca da esfera" sempre será a mesma.

Esferas, círculos e circunferências

Pare compreender melhor a teoria acerca das esferas é essencial entender a relação delas com os círculos e a circunferência, sendo fundamental para visualizar como essas formas se interconectam. Vamos desmembrar cada um desses conceitos e ver como eles se relacionam entre si.

Círculo: um círculo é uma figura geométrica bidimensional. Ele consiste em todos os pontos de um plano que estão a uma distância maior ou igual a um raio \((r)\) de um ponto central (o centro do círculo \((O)\). Essencialmente, um círculo é a "sombra" ou a "interseção" de uma esfera com um plano que passa através dela.

Não se esqueça de que o segmento que toca a circunferência de um ponto a outro passando pelo centro é chamado de diâmetro e tem sua medida igual a duas vezes o raio.

Circunferência: a circunferência é a linha curva que forma o limite de um círculo. Ela é unidimensional e pode ser visualizada como a "casca" externa de um círculo.

O comprimento da circunferência pode ser calculado usando a fórmula \((2\pi r)\), onde \((r)\) é o raio do círculo.

Relação de projeção: ao projetar uma esfera sobre uma superfície plana você verá é um círculo. Essa projeção é uma representação bidimensional da esfera tridimensional.

Circunferência de uma seção: a circunferência de um círculo, resultante da interseção de um plano com uma esfera, é a "margem" desse círculo. Por exemplo, a circunferência da Terra (aproximada como uma esfera) ao nível do equador é um "grande círculo".

Propriedades da esfera

Aqui estão suas principais características:

Simetria

Uma das propriedades mais marcantes é sua simetria perfeita. A esfera é simétrica em todas as direções. Isso significa que qualquer linha reta que passe pelo centro da esfera divide-a em duas metades idênticas. Essa simetria radial é uma das razões pelas quais a esfera é considerada uma das formas mais esteticamente agradáveis e equilibradas na natureza e na matemática.

Plano de simetria vertical: o plano que divide a esfera verticalmente e corta exatamente pelo seu centro, resultando em duas metades congruentes.

Plano de simetria horizontal: o plano horizontal que divide a esfera passa exatamente pelo centro da esfera, criando uma separação simétrica entre as partes superior e inferior.

Plano de simetria diagonal: a divisão simétrica diagonal de uma esfera é um conceito que envolve a divisão da esfera através de um plano que passa pelo centro, mas não é restrito a orientações puramente verticais ou horizontais.

Superfície lisa

A superfície de uma esfera é completamente lisa e contínua. Não há arestas ou vértices, o que a diferencia de outros sólidos geométricos como cubos ou prismas.

Essa superfície lisa é definida por todos os pontos que estão à mesma distância do centro, conhecida como raio da esfera. Essa característica torna a esfera ideal para aplicações em que a uniformidade e a ausência de irregularidades são cruciais, como em bolas de esportes e rolamentos.

Seções planas sendo círculos

Outra propriedade fundamental da esfera é que qualquer seção plana que a corte resulta em um círculo.

A seção plana pode passar pelo centro da esfera, formando o maior círculo possível (como no exemplo acima), chamado de círculo máximo, ou pode passar por qualquer outra parte da esfera, formando círculos menores.

Estas secções não se limitam apenas a regiões na horizontal, o corte pode ocorrer de diferentes direções e a propriedade continua valendo.

Essa propriedade é um reflexo direto da simetria da esfera e é importante em diversas áreas da ciência e da engenharia.

Elementos de uma esfera

Quando se trata de esferas, especialmente em contextos geográficos como a Terra, existem elementos específicos que ajudam a definir e entender a superfície de uma esfera. Vamos explorar esses elementos:

Polos

Os polos são dois pontos específicos na superfície da esfera que são definidos pelo eixo de rotação da esfera.

No contexto da Terra, temos:

• Polo Norte: o ponto mais ao norte da Terra, onde o eixo de rotação intercepta a superfície.
• Polo Sul: o ponto mais ao sul da Terra, onde o eixo de rotação intercepta a superfície.
• Os polos são opostos entre si e equidistantes do Equador.

Equador

O Equador é um círculo imaginário que divide a esfera em duas metades iguais, chamadas de hemisférios. É perpendicular ao eixo de rotação e equidistante dos polos.

No contexto da Terra, temos:

• Equador terrestre: o círculo máximo que divide a Terra em Hemisfério Norte e Hemisfério Sul.
• A latitude do Equador é 0°.

Paralelos

Os paralelos são círculos imaginários traçados paralelamente ao Equador e perpendiculares ao eixo de rotação. Eles ajudam a medir a latitude, que é a distância angular em relação ao Equador.

No contexto da Terra, temos:

• Trópico de Câncer: aproximadamente a 23,5° Norte do Equador.
• Trópico de Capricórnio: aproximadamente a 23,5° Sul do Equador.
• Círculo Polar Ártico: aproximadamente a 66,5° Norte do Equador.
• Círculo Polar Antártico: aproximadamente a 66,5° Sul do Equador.

Meridianos

Os meridianos são semicírculos que vão de um polo ao outro, cruzando o Equador perpendicularmente. Eles ajudam a medir a longitude, que é a distância angular em relação ao meridiano de referência, conhecido como Meridiano de Greenwich (0° de longitude).

No contexto da Terra, temos:

• Meridiano de Greenwich: o meridiano principal, que serve como referência para determinar a longitude leste e oeste.
• Meridiano Oposto ao de Greenwich: o meridiano a 180° de Greenwich, que, junto com o Meridiano de Greenwich, divide a Terra em hemisférios oriental e ocidental.

Fórmulas essenciais da esfera

A esfera é uma figura geométrica tridimensional perfeitamente simétrica, onde todos os pontos da superfície estão equidistantes de um ponto central chamado centro. Vamos explorar algumas fórmulas essenciais para resolver problemas de geometria espacial no Enem e nos vestibulares.

Cálculo da área da superfície

A superfície da esfera é a área que a delimita em três dimensões. Podemos pensar nela como a "casca" externa da esfera. É uma superfície curva, fechada e contínua, onde todos os pontos estão a uma distância constante do centro, chamada de raio.

A fórmula para calcular a área dessa superfície:

\(A=4\pi r^2\)

\(A\) é a área da superfície.
\(r\) é o raio da esfera.
\(\pi\) é uma constante aproximadamente igual a 3,14159.

Exemplo: seja um esfera de raio 4, podemos encontrar sua área utilizando a fórmula da área da esfera

\(A=4\pi r^2\), onde \(r=4\)

\(A=4\cdot \pi\cdot 4^2\)

\(A=4\cdot\pi \cdot 16\)

\(A=64\pi\)

Cálculo do volume

O volume de uma esfera é a quantidade de espaço tridimensional que ela ocupa. É uma medida que quantifica o "interior" da esfera.

A fórmula para calcular esse volume é:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\)

\(V\) é o volume.
\(r\) é o raio da esfera.
\(\pi\) é uma constante aproximadamente igual a 3,14159.

Exemplo: seja um esfera de raio 5, podemos encontrar seu volume utilizando a fórmula do volume de uma esfera

\(V=\dfrac{4\pi r^3}{3}\), onde \(r=5\)

\(V=\dfrac{4\cdot \pi \cdot 5^3}{3}\)

\(V=\dfrac{4\cdot \pi\cdot 125}{3}\)

\(V=\dfrac{500\cdot \pi}{3}\)

Cálculo do fuso e cunha esférica

O fuso esférico é uma região da superfície delimitada por dois meridianos que se encontram nos polos da esfera. Em termos simples, imagine que você está cortando uma fatia de uma laranja com dois cortes verticais; a fatia da casca resultante na superfície é um fuso esférico.

Área do fuso esférico \((A_f)\): para calcular a área do fuso esférico, precisamos saber o ângulo central \(\theta\) que corresponde ao fuso e o raio \(r\) da esfera.

A fórmula para a área do fuso esférico é:

\(A_f=\dfrac{\pi r^2\theta}{90º}\)

Exemplo: seja um esfera de raio 2 e queremos calcular a área do fuso esférico que está projetado a partir de um ângulo de 30º, utilizando a fórmula do fuso esférico, temos:

\(A_f=\dfrac{\pi ^2 \theta }{90º}\), onde \(r=2\) e \(\theta =30º\)

\(A_f=\dfrac{\pi \cdot 2^2\cdot 30º}{90º}\)

\(A_f=\dfrac{\pi \cdot 4\cdot 30º}{90º}\)

\(A_f=\dfrac{\pi \cdot 4}{3}\)

Cunha esférica: uma cunha esférica é a porção tridimensional da esfera que é delimitada por um fuso esférico e se estende até o centro. Pense na cunha esférica como uma fatia tridimensional de uma laranja, que inclui tanto a casca quanto o interior da laranja até o centro.

Volume da cunha esférica \((V_c)\): para calcular o volume da cunha esférica, também precisamos do ângulo central \(\theta\) e do raio \(r\).

A fórmula para o volume da cunha esférica é:

\(V_c=\dfrac{\pi r^3\theta}{270º}\)

Exemplo: seja uma esfera de raio 4 e queremos calcular o volume da cunha esférica que está projetada a partir de um ângulo de 90º, utilizando a fórmula do volume da cunha esférica, temos

\(V_c=\dfrac{\pi r^3 \theta}{270º}\), onde \(r=4\) e \(\theta=90º\)

\(V_c=\dfrac{\pi \cdot 4^3\cdot 90º}{270º}\)

\(V_c=\dfrac{\pi \cdot 64\cdot 90º}{270º}\)

\(V_c=\dfrac{\pi \cdot 64}{3}\)

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Exercícios resolvidos: esfera

Confira exercícios de vestibulares com o tema:

Exemplo 1

(Udesc)  Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.

Sabendo-se que o volume da bola é \(2304\pi\;\text{cm}^3\) então a área da superfície de cada faixa é de:

a) \(20\pi\;\text{cm}^2\)
b) \(24\pi\;\text{cm}^2\)
c) \(28\pi\;\text{cm}^2\)
d) \(27\pi\;\text{cm}^2\)
e) \(25\pi\;\text{cm}^2\)

Resolução [B]

O primeiro passo é encontrar o raio da esfera a partir da informaçao que seu volume mede \(2304\pi\;\text{cm}^3\).

Sabendo que o volume de uma esfera é encontrado a partir da expressão \(V=\dfrac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}\), podemos elaborar uma equação com a fórmula do volume e medida que temos, assim:

\(\dfrac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}=2304\pi\)

Agora devemos isolar a incógnita \(r\), afim de encontrar o seu valor.

\(\dfrac{4\cdot \not{\pi} \cdot r^3}{3}=2304\not{\pi}\)
\(r^3=\dfrac{2304}{\frac{4}{3}}=2304\cdot \dfrac{3}{4}\)
\(r^3=\dfrac{6912}{4}=1728\)
\(r=\sqrt[3]{1728}=12\)

Sabendo que o raio da esfera mede 12 cm, podemos agora encontrar o valor da área total de sua superfície utilizando sua respectiva fórmula, assim:

\(A=4\cdot \pi r^2\), onde \(r=12\)
\(A=4\cdot \pi \cdot 12^2\)
\(A=4\cdot \pi \cdot 144\)
\(A=576\cdot \pi\)

Como são 24 faixas de tamanhos iguais, para encontrar o valor da área de uma única faixa, basta dividir o valor da área total por 24, assim fincado com:

\(\dfrac{576\cdot \pi}{24}=24\;\text{cm}^2\)

Exemplo 2

(Fuvest 2021)  Suponha, para simplificar, que a Terra é perfeitamente esférica e que a linha do Equador mede 40.000 km. O trajeto que sai do Polo Norte, segue até a linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, depois se desloca ao longo da linha do Equador até o meridiano 45°L e então retorna ao Polo Norte por esse meridiano tem comprimento total de

a) 15.000 km.
b) 20.000 km.
c) 25.000 km.
d) 30.000 km.
e) 35.000 km.

Resumo: esfera

Veja os principais pontos abordados no texto:

• Esfera é a coleção de todos os pontos em um espaço, tal que distam uma distância \(r\) de um centro \(O\).
• Elas são simétricas, logo se realizar uma divisão em seu eixo central, terá duas partes iguais.
• Possui uma superfície lisa, logo não possui vértices e arestas.
• A interseção de uma esfera com um plano que a corta é sempre um círculo.
• Polos são dois pontos específicos na superfície da esfera que são definidos pelo eixo de rotação da esfera.
• O Equador é um círculo imaginário que divide a esfera em duas metades iguais.
• Os paralelos são círculos imaginários traçados paralelamente ao Equador e perpendiculares ao eixo de rotação.
• Os meridianos são semicírculos que vão de um polo ao outro, cruzando o Equador perpendicularmente.
• A fórmula para o cálculo da área da superfície é \(A=4\cdot \pi \cdot r^2\).
• A fórmula para o cálculo do volume é \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\).
• O cálculo da área de um fuso esférico é \(A_f=\dfrac{\pi r^2\theta}{90º}\).
• O cálculo do volume de uma cunha esférica é \(V_c=\dfrac{\pi r^3\theta}{270º}\).

* Todas as imagens foram desenvolvidas por Allan David