Área de figuras planas: fórmulas e exercícios completos

Você já parou para pensar como calcular o espaço ocupado por um terreno, o tampo de uma mesa ou até uma fatia de pizza? Esses são exemplos clássicos de aplicações da área de figuras planas, um dos temas mais presentes tanto na matemática do dia a dia quanto nas provas de vestibulares e do Enem.

Embora o assunto pareça simples à primeira vista, entender as fórmulas, propriedades e contextos em que cada figura aparece é essencial para resolver questões com segurança.

A seguir, mostramos que calcular área de figuras planas vai muito além de decorar expressões, é uma habilidade útil e estratégica, seja para acertar aquela questão difícil da prova ou dividir a pizza de forma justa com os amigos. Além disso, aprender conceitos e raciocínios lógico e visual pode ajudar você a dominar esse tema de forma rápida e eficiente!

Área de figuras planas: fórmulas de cálculo

Quando falamos sobre fórmulas de cálculo de áreas de figuras planas estamos nos referindo a um dos pilares da geometria.

Saber como determinar o espaço dentro de figuras como quadrados, retângulos, triângulos e círculos é fundamental, não só para resolver problemas acadêmicos, mas também para situações práticas do cotidiano.

Área do triângulo

Um triângulo é uma figura geométrica plana com três lados e três ângulos internos. Ele pode ser classificado de acordo com os lados (equilátero, isósceles e escaleno) ou pelos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo).

A área de um triângulo é calculada pela fórmula geral:

\(A_t=\dfrac{b\cdot h}{2}\)

Em que:

• \(A_t\) é a área do triângulo,
• \(b\) é a base do triângulo,
• \(h\) é a altura (perpendicular à base).

Para um triângulo equilátero (todos os lados iguais), há ainda outra fórmula.

A fórmula é:

\(A_{te} =\dfrac{L^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\)​​

Onde:

• \(A_{te}\) é a área do triângulo equilátero;
• \(L\) é o comprimento de um dos lados do triângulo equilátero.

Área do quadrado

Um quadrado é um quadrilátero com os quatro lados de mesmo comprimento e todos os ângulos internos iguais a 90º. Suas diagonais são congruentes e se cruzam em ângulos retos. Ele é um caso especial de retângulo e de losango, combinando as propriedades de ambos.

A área do quadrado é calculada pela fórmula:

\(A_{q}=a^2\)

Em que:

• \(A_q\) é a área do quadrado;
• \(a\) é o comprimento de um dos lados do quadrado.

Área do retângulo

Um retângulo é um quadrilátero que possui todos os ângulos internos iguais a 90º. Seus lados opostos são paralelos e têm o mesmo comprimento, sendo dois lados maiores (comprimento) e dois menores (largura).

A área do retângulo é calculada pela fórmula:

\(A_{r}=a\cdot b\)

Em que:

• \(A_r\) é a área do retângulo;
• \(b\) é a base (comprimento);
• \(h\) é a altura (largura).

Área do trapézio

Um trapézio é um quadrilátero com dois lados opostos paralelos, chamados de bases, e os outros dois lados não paralelos. Ele pode ser classificado em trapézio retângulo (com um ângulo de 90º), trapézio isósceles (lados não paralelos iguais) ou trapézio escaleno (todos os lados diferentes).

A área do trapézio é calculada pela fórmula:

\(A_{tp}=\dfrac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}\)

Em que:

• \(A_{tp}\) é a área do trapézio;
• \(B\) é a base maior;
• \(b\) é a base menor;
• \(h\) é a altura (distância entre as bases).

Área do círculo

Um círculo é a região plana delimitada por uma circunferência, que é o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto central. A distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência é chamada de raio (\(r\)).

Área do círculo é calculada pela fórmula:

\(A_c=\pi \cdot r^2\)

Em que:

• \(A_c\) é a área do círculo;
• \(r\) é o raio do círculo;
• \(\pi\) (pi) é aproximadamente 3,1416.

Área do losango

Um losango é um quadrilátero com os quatro lados de mesmo comprimento. Suas diagonais são perpendiculares entre si. Embora todos os lados sejam iguais, os ângulos internos podem variar, sendo opostos iguais entre si. Ele também é um tipo especial de paralelogramo.

A área do losango é calculada pela fórmula:

\(A_{L}=\dfrac{D\cdot d}{2}\)

Em que:

• \(A_{L}\) é a área do losango;
• \(D\) é o comprimento da diagonal maior;
• \(d\) é o comprimento da diagonal menor.

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Veja alguns exemplos de questões para calcular área de figuras planas:

Exemplo 1

(Enem PPL)  Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.

A fórmula correta é

a) \(R=\frac{L}{\sqrt{\pi}}\)
b) \(R=\frac{L}{\sqrt{2\pi}}\)
c) \(R=\frac{L^2}{2\pi}\)
d) \(R=\sqrt{\frac{2L}{\pi}}\)
e) \(R=2\sqrt{\frac{L}{\pi}}\)

Resposta [A]
Utilizando a fórmula da área do círculo e do quadrado temos que:

\(\pi R^2=L^2\Rightarrow R^2=\dfrac{L^2}{\pi}\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{L}{\sqrt{\pi}}\)

Exemplo 2

(Enem) A figura representa uma escada com três degraus, construída em concreto maciço, com suas medidas especificadas

Nessa escada, pisos e espelhos têm formato retangular, e as paredes laterais têm formato de um polígono cujos lados adjacentes são perpendiculares. Pisos, espelhos e paredes laterais serão revestidos em cerâmica.

A área a ser revestida em cerâmica, em metro quadrado, mede

a) 1,20.   
b) 1,35.   
c) 1,65.   
d) 1,80.   
e) 1,95.   

Resposta: [E]
Área dos pisos + espelhos:

\(A_l=3\cdot (0,25\cdot 1+0,20\cdot 1)\\;\ A_l=1,35\;\text{m}^2\)

Área das 2 paredes laterais:



\(A_{ll}=2\cdot 0,20\cdot (0,25+0,50+0,75)\ A_{ll}=0,60\;\text{m}^2\)

Logo, a área a ser revestida em cerâmica vale:

\(A=1,35+0,60\)
\(\therefore A=1,95\;\text{m}^2\)