Matemática

Descubra o que é MMC e como resolver

Múltiplos em comum de dois ou mais números são aqueles que são múltiplos de todos os números envolvidos. O que seria, então, MMC? Contamos tudo aqui neste post!

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Descubra o que é MMC (mínimo múltiplo comum), como calculá-lo e suas aplicações no dia a dia. Aprenda com exemplos práticos e dicas do Aprova Total.

Meme dos múltiplos Spider-Man. Fonte: imgflip

Antes de entendermos a ideia de multiplicidade, precisamos fazer uma breve revisão sobre números inteiros e suas propriedades. Temos que qualquer número inteiro pode ser enquadrado em duas classificações:

  • Número primo \( \left( 2, 3, 5, 7, 11, \dots \right) \), que são aqueles que somente podem ser divididos por 1 ou por si próprio;
  • Números compostos, que são obtidos através da multiplicação de números primos, como por exemplo \( 6 = 2 \times 3 \) ou ainda \( 35 = 5 \times 7 \).

Cada número primo que compõem os números compostos é denominado fator primo, elemento de suma importância para garantir a unicidade da decomposição dos números. Além de garantir a unicidade, os fatores primos serão essenciais para sabermos se dois números são múltiplos entre si ou múltiplos de um terceiro.

Dado esse breve resumo, podemos dizer que um número é múltiplo de outro, quando parte da decomposição de um deles (normalmente o maior) possui, ao menos, todos os fatores primos do outro. Também dizemos que dois números distintos são múltiplos de um certo \( a \in \mathbb{Z} \) quando a decomposição de ambos possui no mínimo os fatores de \( a \)

Para exemplificar essa afirmações, observe que 6 e 10 são múltiplos de 2, pois \( 6 = 2 \times 3 \) e \( 10 = 2 \times 5 \). Repare que eles ambos possuem ao menos um fator 2 que garante a multiplicidade. De forma semelhante, temos que 30 é múltiplo de 6, pois \( 30 = 2\times 3 \times 5 \) e \( 6 = 2 \times 3 \). Nesse exemplo vemos que todos os fatores de 6 também são fatores de 30, o que garante m ser múltiplo do outro.

Algumas propriedades diretas sobre os números inteiros é que

  • Todos os números inteiros são múltiplos de 1;
  • Todo número inteiro é múltiplo de si mesmo

A primeira afirmação, se dá pelo fato de que 1 é o elemento neutro da multiplicação, o que significa que a todo número inteiro \( a \in \mathbb{Z} \) pode ser visto como \( a = 1 \times a \). Já a segunda afirmação, temos devido a estarmos olhando para o mesmo número, que obviamente terá a mesma decomposição.

Múltiplos em Comum

Acredite se quiser, mas há entre os números inteiros, infinitos números que são múltiplos entre si, se pararmos para analisar apenas os números 2 e 3, teremos os seguinte múltiplos

  • \( M_2 = \left\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \dots \right\} \)
  • \( M_3 = \left\{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \right\} \)

Como você pode reparar, os números que são comuns a ambos são \( \left\{ 6, 12, 18, 24, \cdots \right\} \). E não acaba por aí, aquelas reticências \( (\dots ) \) nos indicam que essa lista de números não se encerra.

O que é MMC?

Nesse momento, já estamos com ferramentas suficientes para começarmos a pensar em MMC. Essa sigla significa mínimo múltiplo comum. Traduzindo, de todos os infinitos múltiplos que existem entre dois ou  mais números, o menor positivo será o mínimo múltiplo comum.

Falando de forma mais técnica, o mínimo múltiplo comum é um número inteiro que possui todos os fatores de cada um dos números. Vamos analisar o mmc entre 12 e 50. Decompondo os números mencionados, temos \(12 = 2^2 \times 3^1 \) e \( 50 = 2^1 \tmes 5^2 \).

Repare que os fatores primos envolvidos são 2, 3 e 5. Agora devemos avaliar qual é o maior expoente de cada um dos fatores primos. Porém, os fatores 3 e 5, aparentemente não fazem parte de ambos os números para eu poder dizer qual possui o com maior expoente. Na verdade, eles estão, porém escondidos: quando algum número não for um fator próprio de uma certa decomposição, vamos considerar que a potência desse fator é zero. De fato, sabemos que , assim como .

Agora sim, selecionando o maior de cada um deles, temos:

  • Para o fator 2: entre 1 e 2, a maior potência é 2
  • Para o fator 3: entre 0 e 1, a maior potência é 1
  • Para o fator 5: entre 0 e 2, a maior potência é 2

Dessa forma, o número que determina o mínimo múltiplo comum entre 12 e 50 é \( 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 300 \).

Propriedades do MMC

O MMC possui propriedades muito interessantes e que vão te fazer ganhar muito tempo ao resolver exercícios e provas como nosso querido Enem. A primeira delas, que eu garanto que você irá se deparar inúmeras vezes ao longo de seus estudos é que o mínimo múltiplo comum entre 1 e qualquer número inteiro \( a \) é sempre igual a \( a \), ou seja

\[ mmc\left( 1, a \right) = a \]

Para todo \( a \in \mathbb{Z} \). Essa propriedade é muito utilizada quando estamos somando frações com números inteiros, veja bem: para somar \(1 + \dfrac{1}{3} \), primeiramente devemos ver \( 1 \) como uma fração \( \dfrac{1}{1} \), dessa forma podemos realizar a soma entre as duas frações realizando o mmc entre os denominadores.

Graças a propriedade que acabamos de estudar, podemos concluir que o denominador comum a ambas as frações é \( mmc(1, 3) = 3 \), podemos então simplesmente multiplicar a número inteiro e realizar a operação entre os numeradores

\[ 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 1}{3} = \dfrac{4}{3} \]

Outra propriedade muito importante é que ao calcularmos o Mínimo múltiplo comum entre dois números primos distintos, sempre será igual ao produto entre os dois primos, em outras palavras:

Sejam \( p, q \in \mathbb{Z} \) dois números primos distintos. O mínimo múltiplo comum entre ambos é \( mmc (p, q) = p \times q \)

Essa propriedade se faz muito útil também para realizarmos somas entre frações irredutíveis, como por exemplo \( \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{7} \). Temos que os denominadores de cada fração são números primos distintos, fazendo com que o \( mmc(5, 7) = 35 \). Dessa forma, podemos realizar essa operação simplesmente multiplicando os denominadores, multiplicando de forma cruzada os numeradores e denominadores, e realizando a operação entre as frações

\[ \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{7 \times 3 – 5 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{11}{35} \]

Outra propriedade bastante útil na operação entre números envolvendo multiplicidade, relaciona o mmc entre números múltiplos. Quando um certo número \( m \) for múltiplo de \( n \), com \( n < m \), o mínimo múltiplo comum entre eles será sempre o maior número deles, ou seja

Se \(n < m \in \mathbb{Z} \) e \( m = n \times k \) onde \(k\) também é um número inteiro. Então o \( mmc(n, m) = m \).

Como calcular MMC

Agora que já temos um vasto conhecimento sobre propriedades e definições sobre mínimo múltiplo comum, podemos explorar as diferentes maneiras de encontrar esses valores.

Método de Decomposição em Fatores Primos

Para calcular o MMC de um número, é importante entendermos o processo de decomposição dos números em produto de fatores primos. Sendo assim, um número inteiro (Veja o nosso post sobre números inteiros) positivo, maior que um pode ser decomposto em um produto de fatores primos que são divisores desse número. Então, usando o número 210 como exemplo, devemos dividir esse número pelos seus divisores que são números primos. Como o número é par, ele é divisível pelo número primo 2 e, portanto:

\[ 210 = 2\cdot 105 \]

Observe que o resultado da divisão é divisível por 3, dessa forma:

\[ 210 = 2\cdot 3 \cdot 35 \]

Da mesma maneira, o resultado é divisível por outro primo, o número 5:

\[ 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \]

Dessa forma, a decomposição do número 210 em fatores primos pode ser representada por \( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \).

Agora imagine ter que fazer esse processo toda vez para todos os números envolvidos, você deve concordar comigo que seria muito trabalhoso. Será então que não há uma forma de fazermos essa fatoração simultânea? E a resposta é que SIM, veja no próximo tópico como proceder

Método Divisões Sucessivas

Até o presente momento, aprendemos a calcular MMC fatorando cada um dos números e realizando o produto entre cada fator elevado em seu maior expoente.  Essa forma pode ser muito demorada dependendo do tamanho dos números trabalhados. Porém, essa decomposição pode ser dada de forma simultânea através do seguinte diagrama:

  1. Primeiro, escreva os números envolvidos lado a lado, separados por vírgula;
  2. Desenhe uma linha para separar os números a serem fatorados de seus fatores;
  3. Realize as divisões por fatores primos;
  4. Multiplique os fatores primos obtidos.

Vamos entender esse diagrama encontrando o mínimo múltiplo comum entre \( 4, 10\) e \( 12 \).

À direita da linha, vamos colocar os fatores primos que dividem cada um dos números. A vantagem de trabalharmos dessa forma é que podemos fazer divisões simultâneas. Vamos realizar essas divisões até todos os números chegarem a \(1\).

Basta agora, realizar o produto entre os fatores primos \( 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60 \). Observando com detalhe, o produto de \( 2 \times 2 = 2^2 \) é a maior potência de \(2\), presente em \(12\), o fator \( 3^1 \) é a maior potência de \(3\), também presente em 12, e \(5^1\) é a maior potência de \(5\), presente em \(10\).

Uma dica matadora para a sua prova do Enem e vestibulares é calcular MMC de números que terminam em zeros. Sempre que os números envolvidos terminarem com zeros, eles têm ao menos um fator \(2\)  e \(5\), essa quantidade de fatores vai depender diretamente da quantidade de zeros que o número terminar.

Nossa referência de zeros, será o número que possui a maior quantidade. Calculando o MMC entre \(200\) e \(4000\), temos:

Como a maior quantidade de zeros é \( 3\), temos que a potência de 2 e 5 será 3. Isso faz com que ganhemos muito tempo ao fatorar os números pois conseguimos acelerar algumas etapas.

Repare que essa propriedade nos poupou o servido de fazermos 6 divisões simultâneas, basta agora realizar o produto entre os fatores, obtendo \( mmc(200, 4000) = 2^5 \times 5^3 = 4.000 \).

Aplicações do MMC na Matemática

Na área da matemática, o MMC é muito usado para adições e subtrações de frações com denominadores distintos, tome como exemplo, a soma de frações a seguir:

\[ \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} \]

Para realizar a soma entre frações, precisamos igualar os denominadores encontrando o MMC entre eles. Como você pode perceber, 4 e 8 são múltiplos, o que implica no \( mmc( 4, 8 ) = 8\). Dessa forma:

\[ \dfrac{6 + 5}{8} = \dfrac{11}{8} \]

Outra aplicação importante sobre MMC é a ideia de encontrar coisas que acontecem simultaneamente, por exemplo: dois funcionários de uma empresa possuem folgas conforme os dias trabalhados. O primeiro funcionário recebe um dia de folga a cada 12 dias trabalhados, enquanto o segundo funcionário recebe uma folga a cada 15 dias trabalhados. Para encontrar quando os funcionários vão folgar juntos, devemos calcular o MMC entre 12 e 15.

Dessa forma, o \( mmc(12, 15) = 60 \), o que significa que eles poderão folgar junto a cada 60 dias corridos.

Resumo: MMC

Depois de tanta informação valiosa, vale a pena dar aquela resumida em tudo que vimos para ficar bem as ideias e poder ter uma fonte rápida de pesquisa para o seu dia a dia.

O que é MMC e como calculá-lo

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é um conceito fundamental em matemática que se refere ao menor número inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números. Para entender como calculá-lo e suas aplicações práticas, é importante revisar conceitos básicos de números inteiros, primos e compostos.

Números Inteiros e Fatores Primos

Os números inteiros podem ser primos, como 2, 3, 5, 7, 11, que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos, ou compostos, como 6 (2x3) e 35 (5x7), que são produtos de números primos. A decomposição em fatores primos é essencial para determinar se dois números são múltiplos entre si.

Calculando Múltiplos

Um número é múltiplo de outro se a decomposição do maior contém todos os fatores primos do menor. Por exemplo, 6 e 10 são múltiplos de 2, pois suas decomposições incluem o fator 2.

Entendendo o MMC

O MMC é o menor número positivo que é múltiplo comum de dois ou mais números. Para calculá-lo, identificamos todos os fatores primos dos números e selecionamos o maior expoente de cada fator. Por exemplo, para 12 (2² x 3¹) e 50 (2¹ x 5²), o MMC é 2² x 3¹ x 5² = 300.

Propriedades do MMC

  • O MMC entre 1 e qualquer número \( a \) é sempre \( a \).
  • Para dois números primos distintos \( p \) e \( q \), o MMC é \( p \times q \).
  • Se \( m \) é múltiplo de \( n \), então o MMC de \( n \) e \( m \) é \( m \).

Método de Decomposição Simultânea

Para calcular o MMC de forma eficiente, podemos usar a decomposição simultânea. Por exemplo, para 4, 10 e 12:

  1. Escrevemos os números lado a lado.
  2. Dividimos simultaneamente pelos fatores primos até que todos se tornem 1.
  3. O produto dos fatores primos obtidos será o MMC.

Aplicações do MMC

O MMC é usado para:

  • Somar e subtrair frações com denominadores diferentes.
  • Determinar quando eventos que ocorrem em intervalos regulares acontecem simultaneamente. Por exemplo, dois funcionários com folgas a cada 12 e 15 dias terão folga juntos a cada 60 dias.

Ao dominar o cálculo do MMC, você ganha uma ferramenta poderosa para resolver problemas matemáticos e práticos no dia a dia, especialmente em provas como o Enem.

Como o MMC cai no Enem e vestibulares

Mínimo múltiplo comum é uma matéria que é pré-requisito de muitos conteúdos e um assunto crucial de ser abordado na matemática básica. Apesar do Enem não cobrar explicitamente "Calcule o mmc...", você irá precisar muito dele na operação de frações e quando precisar encontrar elementos comuns a certos conjuntos.

Nos vestibulares não é tão diferente a maneira de se cobrar MMC, praticamente as principais questões que abordam esse tema, trazem enunciados contextualizados e coerentes com a realidade e nosso dia a dia. Veja abaixo duas questões que caracterizam tudo que mencionamos sobre esse assunto nas provas

Questão 1

(Enem 2ª aplicação 2014)  Em uma plantação de eucaliptos, um fazendeiro aplicará um fertilizante a cada \(40\) dias, um inseticida para combater as formigas a cada \(32\) dias e um pesticida a cada \(28\) dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um mesmo dia.

De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a primeira aplicação, os três produtos serão aplicados novamente no mesmo dia?

  1. 100
  2. 140
  3. 400
  4. 1.200
  5. 35.840

Resolução

Com a intrepretação da questão temos que a resposta, em dias, é dada por

\[ \begin{eqnarray} mmc \left( 40, 32, 28 \right) &=& mmc \left( 2^3 \times 5, 2^5, 2^2 \times 7 \right) \\ &=& 2^5 \times 5 \times 7 \\ &=& 1.120 \end{eqnarray} \]

Com isto, a resposta correta é a alternativa D.

Questão 2

(UPE 2017)  Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as lâmpadas vermelhas acendem?

  1. 6
  2. 9
  3. 12
  4. 15
  5. 18

Resolução

Para encontrar em quantos segundos as lâmpadas vão se acender simultaneamente, devemos calcular o mmc entre 45, 60 e 27. Dessa forma

Multiplicando esses fatores, temos \( mmc(45, 60, 27) = 540s \). Convertendo para minutos, temos que \(540 \ s = \dfrac{540}{60} = 9 \ min \).

Portanto, resposta alternativa B).

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