Razão e proporção: o que são, propriedades e exercícios

Comparar quantidades faz parte do nosso dia a dia. Desde calcular o consumo de combustível de um carro até interpretar a escala de um mapa, dividir uma conta entre amigos ou preparar uma receita, utilizamos conceitos de razão e proporção com mais frequência do que imaginamos. Não por acaso, esse é um conteúdo bastante recorrente nas provas do Enem e dos principais vestibulares.

Razão e proporção são conteúdos fundamentais da Matemática e servem de base para diversos assuntos, como regra de três, porcentagem, escalas, velocidade média e matemática financeira. Além de relacionarem diferentes grandezas, esses conceitos permitem comparar medidas, interpretar situações do cotidiano e resolver problemas envolvendo proporcionalidade.

Para compreender bem razão e proporção, é importante já ter conhecimento sobre frações, pois esses conteúdos estão diretamente relacionados. Ao longo deste artigo, você verá os principais conceitos, propriedades, aplicações práticas e exercícios resolvidos para dominar esse tema.

Como razão e proporção aparecem no Enem e nos vestibulares?

Razão e proporção costumam aparecer em questões que envolvem:

• velocidade média;
• escalas cartográficas;
• consumo de combustível;
• receitas culinárias;
• divisão proporcional;
• matemática financeira;
• regra de três simples e composta;
• interpretação de gráficos e tabelas.

Mais do que decorar fórmulas, é importante desenvolver o raciocínio proporcional para reconhecer essas situações nas provas.

O que é uma razão?

Preliminarmente, uma razão é uma fração entre dois números ou grandezas a fim de obtermos uma relação comparativa entre eles. Isso ocorre, pois, a divisão é a maneira mais intuitiva de relacionar dois números ou grandezas.

Na teoria, a razão entre duas grandezas, dadas como números reais, A e B, em que B é diferente de 0, é o quociente da divisão de A por B. Na prática, a razão entre A e B é:

Dizemos que A é o numerador da fração ou antecedente da razão. Ademais, o número B é o denominador da fração ou consequente da razão.

Onde utilizamos a razão no cotidiano?

A razão aparece em inúmeras situações práticas, como: velocidade média (quilômetros por hora), consumo de combustível (quilômetros por litro), densidade demográfica (habitantes por quilômetro quadrado), preço por quilograma de produtos, receitas culinárias e até em escalas de mapas e plantas.

Perceber essas aplicações facilita a interpretação das questões de Matemática e ajuda a compreender por que esse conteúdo é tão importante.

OBS: A razão é usada para exprimir a relação entre as duas grandezas, dessa forma, a razão entre A e B e a razão entre B e A, ou seja: ou podem ter valores diferentes, porém, ambas podem ser usadas dependendo da situação.

Exemplos:

• , ou seja, 0,428 é o número aproximado da razão entre 3 e 7;

• , isto é, 3,2 é a razão entre 16 e 5;

• , em outros termos, 2 é a razão entre os números 8 e 4.

• A razão entre a distância e o tempo informa quantos metros/quilômetros foram percorridos em um segundo/hora. Isso nada mais é que a velocidade média como conhecemos.

Entenda mais sobre proporção

Agora que você já sabe sobre razão, resta saber sobre a proporção. Portanto, a proporção nada mais é do que uma igualdade entre duas razões. De maneira teórica, se uma razão A por B e outra razão C por D são iguais, dizemos que há proporção entre elas. Por outro lado, de maneira prática temos que a proporção entre duas razões é:

Observando a proporção das razões acima, dizemos que os extremos são A e D e os meios são B e C.

OBS: Os numeradores e denominadores das duas razões não são necessariamente iguais. Além disso, se fossem iguais, estaríamos falando de uma mesma razão. Também, é importante saber que uma proporção pode ser feita por mais de duas razões.

Exemplo:

• , dizemos que a razão três quartos é proporcional a razão dezoito para vinte quatro. Melhor ainda, temos uma proporção, no qual, três está para quatro, assim como, dezoito está para vinte e quatro.

• “Toda manhã eu acordo, escovo os meus dentes e tomo café com leite na proporção de 2 para 3”, analisando esse trecho vemos que a pessoa toma café com leite na proporção de 2 para 3, ou seja, para cada duas determinadas quantidades de café a pessoa coloca três para leite, portanto, para qualquer tamanho da xícara que ela tome, temos a mesma proporção.

A ideia de proporção está presente em diversas situações do cotidiano. Sempre que duas relações mantêm o mesmo valor, dizemos que elas são proporcionais. Esse conceito permite resolver problemas envolvendo escalas, mapas, receitas culinárias, velocidade média, consumo de combustível e divisão proporcional, sendo um dos assuntos mais recorrentes no Enem e nos vestibulares.

Como identificar uma proporção?

Para verificar se duas razões formam uma proporção, basta utilizar a propriedade fundamental:

O produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios.

Por exemplo:$$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$$
Nesse caso os extremos são 2 e 10 e os meios: 5 e 4.

Calculando: 2 × 10 = 20 e 5 × 4 = 20.

Como os produtos são iguais, trata-se de uma proporção.

Essa verificação aparece com frequência em exercícios de Matemática e é a base da chamada multiplicação cruzada, muito utilizada na regra de três.

Conheça as propriedades da razão e proporção

Ao reescrevermos uma proporção de maneira algébrica, isto é, modificarmos a sua estrutura original sem desequilibrar a igualdade, observamos diversas propriedades.

As propriedades das proporções facilitam a resolução de problemas matemáticos, permitindo transformar igualdades sem alterar sua validade. Conhecê-las ajuda a simplificar cálculos e economizar tempo durante provas como o Enem e os vestibulares. Dessa maneira, a seguir vemos algumas propriedades das proporções:

1. O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Reescrevendo a proporção pela propriedade acima, então:

Essa propriedade da matemática é conhecida como “multiplicação em ‘xis’” ou “multiplicação cruzada”. Porém, isso nada mais é do que multiplicar ambos os lados da proporção por :

Simplificando os lados da igualdade temos:

2. Troca de posição entre os extremos.

Essa propriedade nos diz que  e, da mesma maneira como a primeira propriedade usamos a “multiplicação cruzada” para chegarmos a esse resultado. Em outros termos, multiplicamos a proporção  por :

Ao fazer as possíveis simplificações obtemos como resultado:

3. Troca de posição entre os meios.

De forma análoga a propriedade 2, temos que . Como você já deve ter imaginado, essa igualdade deriva da “multiplicação cruzada” também. Melhor dizendo, é o produto de por .

4. Frações equivalentes.

Se uma fração é equivalente a uma fração reduzida, então, elas são proporcionais. Em outras palavras, isso ocorre porque uma fração equivalente é uma fração reduzida que foi multiplicada tanto o numerador quanto o denominador pelo mesmo número.

Exemplo:

é a fração reduzida de , ou seja,  e  são proporcionais.

5. Propriedades do inverso

Outra propriedade bastante útil afirma que, se duas razões são proporcionais, podemos inverter simultaneamente numeradores e denominadores sem alterar a igualdade.

Em outras palavras:

Se$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$$
então também vale:$$\frac{B}{A}=\frac{D}{C}$$
Essa propriedade costuma ser utilizada para facilitar alguns cálculos quando a incógnita aparece no denominador da fração.

6. Média proporcional

Existe ainda uma propriedade bastante utilizada em Geometria. Quando temos:
$$\frac{A}{B}=\frac{B}{C}$$
o termo B recebe o nome de média proporcional entre A e C. Nesse caso: B2=A×C

Exemplo:

Qual é a média proporcional entre 4 e 9? Como: 4 × 9 = 36, temos: B² = 36. Logo, B = 6.

Essa propriedade aparece principalmente em conteúdos de geometria plana e semelhança de triângulos.

Razão e proporção: o que são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

Duas grandezas são proporcionais quando uma grandeza se altera e, por conta disso, outra grandeza também se altera.

Reconhecer se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais é uma das habilidades mais importantes para resolver problemas envolvendo regra de três.

Uma dica simples é observar o comportamento das grandezas:

• se uma aumenta e a outra também aumenta (ou ambas diminuem), elas são diretamente proporcionais;
• se uma aumenta enquanto a outra diminui, elas são inversamente proporcionais.

Identificar corretamente esse comportamento evita muitos erros em exercícios.

Grandezas diretamente proporcionais

De forma teórica, dizemos que duas grandezas, a e b, são diretamente proporcionais se , em que k é a constante de proporcionalidade, isto é, a constante que garante que a e b são proporcionais. Em outras palavras, se a é diretamente proporcional a b, então significa dizer que ao aumentar o valor de a, então o valor de b aumenta na mesma proporção. Da mesma forma, se diminuirmos o valor de a, então o valor de b diminui proporcionalmente.

Exemplo:

Maria foi fazer um bolo de chocolate e viu que na receita ia quatro ovos, três xícaras de farinha, uma xícara de achocolatado em pó, etc. Porém, ao procurar os ingredientes, ela encontrou apenas três ovos. Sem desanimar ela conseguiu separar corretamente de forma proporcional a quantia, em xícaras, de farinha e achocolatado em pó para a receita com três ovos. Quantas xícaras de farinha e achocolatado em pó Maria separou?

Resolução:

No enunciado do exercício, a receita de Maria tinha que para três xícaras de farinha iam quatro ovos e para uma xícara de achocolatado em pó iam quatro ovos também, ou seja:

Como são 3 xícaras de farinha para 4 ovos, a constante proporcional é igual a . De forma análoga, a constante proporcional do achocolatado em pó para os ovos é igual a .

Sabendo que constantes proporcionais garantem a proporção e que Maria irá fazer a receita com 3 ovos, então:

Isolando as variáveis:

Portanto, Maria precisou de 2 xícaras mais um quarto de xícara de farinha e três quartos de xícara de achocolatado em pó para fazer a mesma receita com três ovos.

Analisando o exemplo, podemos perceber que para que a receita desse certo, as grandezas ‘quantia de ovos’ e ‘xícaras de farinha’ devem ser diretamente proporcionais. Assim como, a ‘quantia de ovos’ tinha que ser diretamente proporcional com ‘xícaras de achocolatado em pó’. Pois, se diminuirmos a quantia de ovos, a quantia de xícaras de farinha e xícaras de achocolatado em pó devem diminuir proporcionalmente também, para que a receita não fique com mais farinha e achocolatado em pó do que o normal.

Grandezas inversamente proporcionais

Por outro lado, temos as grandezas que são inversamente proporcionais. Em suma, duas grandezas, a e b, são inversamente proporcionais se , em que k é a constante que garante a proporcionalidade. Perceba que grandezas inversamente proporcionais se multiplicam para gerar a constante, já as grandezas diretas se dividem. Isso ocorre, pois, se a é inversamente proporcional a b, significa que ao aumentarmos o valor de a, o valor de b deve ser diminuído proporcionalmente. De forma análoga, ao diminuir o valor de a, o valor de b deve ser aumentado.

Exemplo:

Uma casa será construída em 180 dias com 15 trabalhadores. O dono da casa está ficando com suas dívidas apertadas e, por isso, diminuiu a quantidade de trabalhadores para 10. Dessa forma, em quantos dias os 10 trabalhadores terminaram a construção (considerando que cada trabalhador tem o mesmo rendimento)?

Resolução:

Pelo enunciado, o dono da casa esperava a casa pronta em 180 dias para 15 trabalhadores. Analisando de forma lógica, ao diminuir a quantia de trabalhadores, então o serviço demorará mais para terminar. Ou seja, diminuindo a quantidade de trabalhadores irá aumentar os dias para a casa ficar pronta. Dessa forma, temos duas grandezas inversamente proporcionais e, portanto:

Analisando a proporcionalidade, temos que a constante proporcional é igual a . Dessa maneira, ao diminuirmos o número de trabalhadores, o número de dias vezes o novo número de trabalhadores deverá dar o mesmo resultado k:

Isolando a grandeza dos dias:

Portanto, diminuindo o número de trabalhadores para 10, a casa ficará pronta em 270 dias.

Perceba que para seguir a lógica, ao diminuir o número de trabalhadores é necessário e natural que demore mais tempo para uma construção ficar pronta. Consequentemente, uma grandeza diminui e outra aumenta e, dessa forma, temos que elas são inversamente proporcionais.

Divisão proporcional

A divisão proporcional é uma aplicação direta dos conceitos de razão e proporção. Ela consiste em repartir um valor entre duas ou mais pessoas ou situações de acordo com uma determinada razão.

Esse tipo de problema aparece com frequência em vestibulares, principalmente em questões envolvendo divisão de lucros, premiações, investimentos e distribuição de recursos.

Como funciona? Imagine que dois sócios investiram quantias diferentes em uma empresa.

• Sócio A investiu R$ 20.000;
• Sócio B investiu R$ 30.000.

Ao final do ano, a empresa obteve um lucro de R$ 10.000, que será dividido proporcionalmente ao valor investido. A razão entre os investimentos é: 20 : 30

Simplificando: 2 : 3

Somando as partes da razão: 2 + 3 = 5 partes.

Agora basta calcular quanto vale cada parte: 10.000 ÷ 5 = R$ 2.000

Assim:

• Sócio A recebe 2 partes:

2 × 2.000 = R$ 4.000

• Sócio B recebe 3 partes:

3 × 2.000 = R$ 6.000

Perceba que a divisão respeita exatamente a proporção dos investimentos realizados.

Esse mesmo raciocínio é utilizado em problemas envolvendo distribuição de prêmios, bolsas, despesas e bônus salariais.

Escalas: uma aplicação da razão

Outra aplicação muito importante da razão é o cálculo de escalas, bastante presente em mapas, plantas arquitetônicas, projetos de engenharia e provas de Geografia e Matemática.

A escala representa a razão entre uma medida desenhada e a medida real.

Por exemplo, uma escala de: 1 : 50.000

significa que:

• 1 cm no mapa representa
• 50.000 cm na realidade.

Ou seja, cada centímetro desenhado equivale a 500 metros no terreno real.

Exemplo:

Em um mapa cuja escala é 1 : 200.000, a distância entre duas cidades mede 3,5 cm. Qual é a distância real? Basta multiplicar: 3,5 × 200.000 = 700.000 cm.

Convertendo: 700.000 cm = 7.000 metros = 7 km, portanto, a distância real entre as cidades é de 7 quilômetros.

As escalas são cobradas frequentemente no Enem e exigem atenção principalmente à conversão de unidades de medida.

Velocidade média e razão

A velocidade média é uma das aplicações mais conhecidas do conceito de razão. Ela representa a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso.

Sua fórmula é:$$v=\frac{d}{t}$$em que:

• v é a velocidade média;
• d é a distância percorrida;
• t é o tempo gasto.

Perceba que essa expressão nada mais é do que uma razão entre duas grandezas.

Exemplo:

Um ciclista percorreu 45 km em 3 horas. Sua velocidade média será: 45 ÷ 3 = 15 km/h. Isso significa que, em média, o ciclista percorreu 15 quilômetros a cada hora.

Esse conceito também permite calcular qualquer uma das três grandezas quando as outras duas são conhecidas, sendo muito utilizado em problemas de Cinemática e de Matemática.

Onde esse conceito aparece? Questões envolvendo velocidade média costumam aparecer em situações como:

• viagens de carro;
• corridas;
• deslocamentos urbanos;
• consumo de combustível;
• interpretação de gráficos de movimento.

Por isso, compreender que velocidade média é uma razão facilita bastante a resolução de exercícios interdisciplinares no Enem.

Regra de três: a principal aplicação da razão e proporção

A regra de três é uma das ferramentas matemáticas mais utilizadas para resolver problemas envolvendo proporcionalidade. Ela se baseia diretamente nos conceitos de razão e proporção, permitindo encontrar um valor desconhecido quando conhecemos os demais valores relacionados.

Esse conteúdo é bastante frequente no Enem e nos vestibulares, principalmente em questões contextualizadas envolvendo consumo, produção, velocidade, escalas, receitas e matemática financeira.

Regra de três simples

A regra de três simples envolve apenas duas grandezas. O primeiro passo é identificar se elas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

Uma máquina produz 120 peças em 6 horas. Mantendo o mesmo ritmo de produção, quantas peças produzirá em 10 horas? Como mais tempo significa mais peças produzidas, trata-se de uma relação diretamente proporcional.

Montando a proporção: 120/6 = x/10

Aplicando a propriedade fundamental da proporção:

6x = 120 × 10

x = 1200 ÷ 6

x = 200 peças

Regra de três composta

Na regra de três composta, três ou mais grandezas participam simultaneamente do problema.

Nesses casos, é necessário analisar cada grandeza individualmente para verificar se sua relação com a incógnita é direta ou inversa. Esse tipo de questão aparece com frequência em situações envolvendo produção industrial, rendimento de máquinas, logística e organização de equipes.

Antes de montar os cálculos, identifique cuidadosamente o comportamento de cada grandeza. Essa etapa reduz significativamente a chance de erros.

Agora que você leu o artigo até aqui, que tal resolver os exercícios de razão e proporção abaixo para exercitar o seu conhecimento?

Hora de treinar: exercícios de razão e proporção

1. Em uma aula de dança, a razão entre o número de homens para o número de mulheres é de quatro para sete. Quantos homens e mulheres estão nessa aula se no total temos 44 pessoas?

a) 10 homens e 34 mulheres.

b) 16 homens e 28 mulheres.

c) 20 homens e 24 mulheres.

d) 14 homens e 30 mulheres.

e) 12 homens e 32 mulheres.

Resolução:

Pelo enunciado, para qualquer número de homens e mulheres a razão entre o homem e a mulher é quatro para sete, isto é, temos a seguinte proporção:

Além disso, temos que se temos 44 pessoas isso significa que o número de homens mais o número de mulheres é igual a 44, portanto:

Com base nas duas equações descobertas, podemos construir um sistema com essas duas variáveis, então, obtemos:

Para resolver o sistema acima, podemos isolar uma das letras e substituir na outra equação:

Ao isolarmos o H, obtemos na segunda equação . Para resolve-la, podemos usar a propriedade de que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:

Agora resta apenas simplificar os resultados:

Sabendo o número de mulheres podemos encontrar logicamente que o número de homens é o total menos o número de mulheres, ou seja, 44 – 28 = 16 homens. Dessa forma, a resposta é a alternativa B.

2. Uma pequena empresa resolveu dar um bônus salarial aos seus três funcionários e, para isso, desembolsou R$ 840,00. Sabe-se que o Alex trabalha 30 horas por semana, Bruno trabalha 35 horas por semana e Carlos trabalha 40 horas semanais. Dessa forma, quantos reais Alex, Bruno e Carlos receberão, respectivamente, se a divisão da empresa for proporcional as horas trabalhadas?

a) R$230,00; R$295,00; R$315,00

b) R$235,00; R$290,00; R$315,00

c) R$245,00; R$270,00; R$325,00

d) R$240,00; R$280,00; R$320,00

e) R$255,00; R$275,00; R$310,00

Resolução:

Interpretando o enunciado, podemos notar que a quantia que cada um receberá será diretamente proporcional a quantia de horas trabalhadas por semana. Portanto, temos uma constante proporcional que será igual ao bônus salarial de cada funcionário pelas horas que eles trabalham por semana. Melhor dizendo:

Com a proporção acima, podemos chegar a três conclusões ao usarmos a “multiplicação em ‘xis’”:

Além disso, o enunciado disse que a empresa disponibilizará R$ 840,00 para o bônus. Sendo assim, a soma dos bônus salariais dos três funcionários é igual a 840 reais:

Substituindo os valores A, B e C pelas igualdades feitas anteriormente, obtemos:

Se a constante proporcional é igual a 8, basta substituir seu valor nas três igualdades (A = 30k, B = 35k e C = 40k):

Dessa forma, cada funcionário receberá:

Sendo assim, a única alternativa que garante as igualdades é a letra D.

3. O cálculo que um clube de futebol realiza para exibir o desempenho (D) de cada jogador a cada treino é diretamente proporcional ao tempo de treino (t), intensidade (i) e sua boa alimentação diária (a). Além disso, é inversamente proporcional a sua desatenção (d) e a seu desequilíbrio emocional (d_e). A constante que garante a proporcionalidade dessas grandezas é o IMC (k) de cada jogador. Com essas informações, a fórmula que o clube utiliza para calcular o desempenho é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Pelo enunciado, a questão pede o valor de D, sabendo que ele é diretamente proporcional ao tempo (t), intensidade (i) e boa alimentação (a) e inversamente proporcional ao desequilíbrio emocional (d_e) e a desatenção (d). Além disso, o enunciado nos diz que a constante que garante a proporcionalidade é o IMC (k) de cada jogador, ou seja, para cada proporção de D com as suas grandezas tem como constante o IMC (k).

Dessa forma, sabendo que diretamente proporcional é quando uma grandeza e outra aumentam ou diminuem proporcionalmente. Ademais, inversamente proporcional é quando uma grandeza aumenta e outra diminui, ou vice-versa, proporcionalmente, obtemos:

Como o enunciado pede a fórmula do desempenho, então ao isolarmos D, o resultado fica:

Sendo assim, a alternativa A é a correta.

Resumo: o que você precisa lembrar sobre razão e proporção

Antes da prova, vale revisar os principais conceitos estudados.

• Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão.
• Proporção é a igualdade entre duas razões.
• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
• Grandezas diretamente proporcionais aumentam ou diminuem juntas.
• Grandezas inversamente proporcionais apresentam comportamentos opostos: quando uma aumenta, a outra diminui.
• A razão e a proporção aparecem em diversos contextos, como velocidade média, escalas, divisão proporcional, consumo de combustível e receitas.
• A regra de três é uma aplicação direta desses conceitos e depende da correta identificação do tipo de proporcionalidade entre as grandezas.

Compreender esses fundamentos facilita a resolução de problemas matemáticos e contribui para um melhor desempenho no Enem e nos principais vestibulares.

Conhecer as propriedades e cálculos matemáticos é importante para alcançar melhores resultados no Enem e nos vestibulares. Então, defina suas estratégias e dedique-se, você vai se sair bem!

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