Trigonometria: conceitos e principais fórmulas

A trigonometria é uma área da Matemática na qual a geometria e a álgebra se relacionam para o desenvolvimento de diversos estudos dos lados e ângulos do polígono mais simples: o triângulo. Além disso, com ela, podemos aprofundar os conhecimentos tanto da geometria plana quanto da espacial. Confira todos os conceitos e as principais fórmulas!

Trigonometria no triângulo retângulo

O principal estudo da trigonometria está baseado sobre os triângulos retângulos. Através desse tipo de triângulo, estabelecemos as principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Entretanto, antes de mostrarmos essas razões, é necessário conhecer primordialmente o triângulo retângulo em si.

Triângulo retângulo

O triângulo retângulo é o polígono de três lados em que há um, e somente um, ângulo de 90 graus. Além disso, o lado oposto a esse ângulo, o maior deles, é chamado de hipotenusa e os lados adjacentes são chamados de catetos. Acompanhe a imagem abaixo:

No triângulo retângulo acima, os lados a e b são definidos como catetos e, o lado c, a hipotenusa. Sendo assim, com a definição de triângulo retângulo, podemos estabelecer as razões trigonométricas.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

As razões trigonométricas vêm do termo razão (que você pode revisar no nosso post de razão e proporção) relacionado com a trigonometria, são elas: seno, cosseno e tangente. Dessa forma, para entendermos as três razões, usaremos o ângulo α, do triângulo retângulo da primeira imagem, como referência. Todavia, devemos classificar os catetos do triângulo retângulo em oposto e adjacente. Para isso, é notável que o cateto oposto é aquele lado que está oposto ao ângulo analisado, nesse caso, o lado a. Consequentemente, o cateto adjacente é o lado que, junto com a hipotenusa, forma o ângulo analisado, nesse caso, o lado b.

Seno

O seno é a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa, ou seja, em relação ao ângulo α analisado, temos:

Cosseno

O cosseno, semelhante ao seno, é a razão que relaciona um cateto com a hipotenusa também, porém, desta vez o cateto é o adjacente. Portanto o cosseno é:

Tangente

A tangente, diferentemente das outras duas razões diretas da trigonometria, é a razão que relaciona os dois catetos, sendo o oposto sobre o adjacente, dessa maneira:

Além disso, ao dividirmos a razão seno pela razão cosseno, obtemos o mesmo resultado da tangente, isto é:

Para memorizar as razões trigonométricas há um macete conhecido como "SOHCAHTOA", em que a cada três letras significam uma razão da trigonometria. SOH remete ao S de seno, O de oposto e H de hipotenusa. Por outro lado, CAH lembra o C de cosseno, A de adjacente e H de hipotenusa. Por fim, o TOA refere ao T de tangente, O de oposto e A de adjacente.

Razões Inversas da Trigonometria

Acima, mostramos as razões trigonométricas do triângulo retângulo. Neste momento mostraremos as razões trigonométricas inversas, que nada mais são do que o inverso das razões da trigonometria, ou seja, o inverso do seno, cosseno e tangente.

Secante

A secante é a razão inversa do cosseno e, por isso, é definida por:

Cossecante

A cossecante, de forma análoga, é o inverso da razão seno, dessa maneira:

Cotangente

Por fim, a cotangente, por consequência, é a razão inversa da tangente e é definida por:

Trigonometria e as relações no triângulo retângulo

Na trigonometria, quando se aprende o triângulo retângulo, o principal teorema trigonométrico abordado é: teorema de Pitágoras. Este teorema nos diz que em um triângulo retângulo, de hipotenusa a e catetos b e c, temos a seguinte relação:

a² = b² + c²

Além do teorema de Pitágoras, com a ajuda da semelhança de triângulos foram descobertas algumas relações métricas do triângulo retângulo. Para isso, veja o triângulo abaixo:

Com as medidas identificadas, podemos afirmar que são válidas as seguintes relações:

1) c² = a ⋅ m

2) b² = a ⋅ n

3) h² = m ⋅ n

4) a ⋅ h = b ⋅ c

Trigonometria para qualquer triângulo

Até agora estudamos a trigonometria para os triângulos que possuem a característica de serem retângulos. A partir de agora, mostraremos algumas manipulações algébricas com a ajuda da trigonometria e da geometria plana que efetuaram a lei dos senos, cossenos e das áreas.

Lei dos senos

A lei dos senos é uma ferramenta utilizada para relacionar os lados e os ângulos de um triângulo qualquer. A principal ferramenta usada para determinar a lei dos senos é a manipulação geométrica do ângulo inscrito a circunferência. Não cabe a esse post explicitar os detalhes dessa manipulação, porém, para que você possa entender, acompanhe a imagem abaixo:

Acima, vemos o triângulo de lados a, b e c e ângulos α, β e γ inscrito na circunferência de raio R. Além disso, visualizamos a seguinte informação: o diâmetro da circunferência inscrita que passa pelo vértice do ângulo β determina um novo triângulo que mantém um ângulo igual a α e um dos lados igual ao diâmetro da circunferência. Com a ajuda da geometria plana, identificamos que esse novo triângulo é retângulo em γ + γ₁, ou seja, a soma dos ângulos γ e γ₁ é 90 graus. Sendo assim, notamos que o valor do diâmetro (2R) é a hipotenusa e através da razão seno, notamos a seguinte informação:

Através desse exemplo, podemos realizar esse mesmo processo entre os outros ângulos e seus lados opostos e chegamos à seguinte conclusão para a lei dos senos:

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é a ferramenta usada para determinar valores de um ângulo tendo todos os lados ou determinar o valor de um lado tendo os valores dos outros dois lados e do ângulo oposto a ele. Para isso, acompanhe a figura abaixo:

Para compreender a lei dos cossenos, basta, apenas, conhecer a trigonometria. Sendo assim, no triângulo qualquer de lados a, b e c e ângulos α, β e γ acima, identificamos o segmento h que origina outros dois triângulos retângulos. As duas primeiras informações que podemos identificar é aplicando o teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos:

(1) a² = h² + (c - x)²

a² = h² + c² - 2 ⋅ c ⋅ x + x²

(2) b² = h² + x²

x² = b² - h²

Ao substituir a equação (2) em (1), obtemos a seguinte situação:

(3) a² = h² + c² - 2 ⋅ c ⋅ x + b² - h²

a² = b² + c² - 2 ⋅ c ⋅ x

Nesse momento, obtemos o lado a em função dos outros lados e do valor x. Entretanto, podemos aplicar o cosseno no triângulo retângulo de lado x e obter o seguinte resultado:

Portanto, substituindo a equação (4) na (3), obtemos a lei dos cossenos em relação ao lado a e seu ângulo oposto α:

a² = b² + c² - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

Como você deve imaginar, podemos aplicar a relação acima para os demais lados e ângulos e, assim, chegamos na conclusão da lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

b² = a² + c² - 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β

c² = a² + b² - 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ

Lei das áreas

A lei das áreas é a mais simples de identificar e, através da imagem anterior, podemos entendê-la com facilidade. Antes disso, devemos lembrar que a fórmula básica da área de um triângulo é:

Em que B é a base do triângulo e H é a altura sendo os dois segmentos, perpendiculares.

Se tomarmos a base como o lado c, notaremos que a altura é o segmento h. Portanto, a área do triângulo é:

Perceba que, ainda, podemos substituir h em função do lado a ou do lado b, basta aplicar o seno:

Logo, podemos substituir (i) ou (ii) na área do triângulo e obter:

Além disso, se tomarmos outro lado como base do triângulo, obteremos também a seguinte relação:

Portanto, a lei das áreas nos diz que a área de um triângulo é igual ao produto de dois lados adjacentes e o seno do ângulo formado por esses lados.

Ângulos na trigonometria

Um ângulo nada mais é do que a medida da inclinação entre duas retas, semirretas ou segmentos de retas que se intersectam em algum ponto. Nesse sentido, o ângulo pode ser medido em algumas possíveis medidas, porém, as principais são graus ou radianos. Entretanto, como a medida em graus é a mais intuitiva, usaremos ela como base para o entendimento dos radianos. Para isso, veremos a intersecção entre as retas abaixo que forma os ângulos α e β:

Graus

Primeiramente, devemos lembrar que a medida de uma abertura completa, ou seja, a soma de todas as aberturas (α + β + α + β) é sempre igual a 360 graus (360º). Dessa forma, chamamos o ângulo de 360º de ângulo completo.

O ângulo raso é a metade de um ângulo completo, ou seja, 180º. Em consequência, o ângulo reto é a metade de um ângulo raso, isto é, 90º. Além disso, quando não há abertura dizemos que o ângulo é nulo, logo, 0º.

Entretanto, há ângulos que estão entre esses valores principais, por isso, dizemos que um ângulo é agudo, quando ele está entre 0º e 90º. Se for obtuso, é porque o ângulo está entre 90º e 180º. Por fim, se um ângulo estiver entre 180º e 360º, chamamos o de ângulo côncavo.

Radianos

Ademais, os radianos são outra forma de medir ângulos. Portanto, para entende-los, observe a figura a seguir onde exibe uma circunferência com raio de uma unidade de medida e os arcos com a respectiva medida acumulada em radianos:

O radiano é a medida de um arco que equivale ao raio da circunferência, ou seja, 1 radiano equivale a medida de 1 vez o raio e é aproximadamente 57,3º. Ainda, veja que o ângulo completo é 360º, porém, em radianos o seu valor aproximado é 6,28 rad. Além disso, perceba que meia volta equivale a 3,14159... radianos, porém, essa medida é uma constante irracional conhecida como π. Logo, se metade de uma volta é π rad, então, uma volta completa é exatamente 2π rad. Para calcular os demais ângulos basta realizar uma regra de três simples, pois 180º está para π rad, assim como xº está para y rad.

Trigonometria no círculo trigonométrico

A trigonometria que vimos até agora é baseada no triângulo retângulo e, a partir de agora, mostraremos como se comporta as razões trigonométricas dentro do círculo trigonométrico. Dessa maneira, note que o círculo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a uma unidade de comprimento e que possui os eixos X e Y de um plano cartesiano que passam pelo centro dessa circunferência. Por isso, acompanhe a imagem do círculo trigonométrico:

O ponto inicial desse círculo é o ponto de coordenadas (1,0), ou seja, na extrema direita da circunferência. Além disso, determinamos um segmento no ponto de partida até o centro da circunferência para realizar as análises dos ângulos que podem ser formados com outros segmentos da circunferência.

Razões da trigonometria no círculo trigonométrico

As razões seno, cosseno e tangente estão presentes no triângulo retângulo, mas também no círculo trigonométrico. Para calcular, observe a situação em cada uma delas:

Conforme a imagem, podemos notar que definido um ângulo α, ao marcar um segmento partindo do centro do círculo com essa angulação é possível identificar algumas medidas. Ou seja, a coordenada y do ponto de intersecção do segmento com a circunferência é o seno do ângulo α. Por outro lado, a coordenada x desse mesmo ponto é equivalente ao cosseno do ângulo α. Além disso, ao prolongar o segmento até o eixo da tangente, descobrimos o ponto que distância uma medida de tangente de α do eixo do cosseno.

Ângulos notáveis

Dentro da trigonometria, há os chamados ângulos notáveis, ou seja, os ângulos que podemos encontrar com facilidade e com ajuda da geometria, são eles: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º e seus correspondentes. Acompanhe abaixo a tabela com os ângulos notáveis:

Sinal dos quadrantes

Para esse momento, note que em cada eixo das razões trigonométricas podemos definir o sinal dos quadrantes para razão: seno, cosseno e tangente. Veja a imagem:

Note que os quadrantes são classificados de acordo com o plano cartesiano original, isto é, o primeiro quadrante é o superior direito, o segundo é o superior esquerdo, o terceiro é o inferior esquerdo e, por fim, o quarto é o inferior direito.

Ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes são aqueles em que resultam um valor equivalente, em módulo, ao de outro ângulo quando aplicado nas razões trigonométricas. Por isso, acompanhe a imagem abaixo exibindo os ângulos correspondentes de 30, 45 e 60 graus:

De acordo com a imagem acima, ela nos diz que as razões trigonométricas desses ângulos correspondentes são equivalentes, em módulo, o que diferencia é apenas o sinal dos resultados. Dessa forma, para identificar o sinal de cada ângulo, devemos observar no sinal dos quadrantes em cada razão trigonométrica. Sendo assim, observe algumas relações abaixo:

|sen 30°| = |sen 150°| = |sen 210°| = |sen 330°|

|cos 45°| = |cos 135°| = |cos 225°| = |cos 315°|

|tg 60°| = |tg 120°| = |tg 240°| = |tg 300°|

Dessa maneira, ao generalizar esse processo para qualquer ângulo α:

|sen (α)| = |sen (180° - α)| = |sen (180° + α)| = |sen (360° - α)|

|cos (α)| = |cos (180° - α)| = |cos (180° + α)| = |cos (360° - α)|

|tg (α)| = |tg (180° - α)| = |tg (180° + α)| = |tg (360° - α)|

Reduções de arcos para a primeira volta

Para um skatista, é uma façanha realizar 900º com o seu skate. Perceba que 900º é 360º + 360º + 180º, ou seja, em tese o skatista que faz 900º realiza duas voltas e meia em torno de si e depois aterrissa no chão sem cair.

Na trigonometria, quando nos deparamos com um ângulo superior a 360º fazemos a mesma análise, ou seja, observamos quantas voltas cabem nesse ângulo, entretanto, o que realmente importa é qual a angulação após o número de voltas. Em outras palavras, para a trigonometria um ângulo de 900º resulta no mesmo valor para o seno, cosseno e tangente do que um ângulo de 180º, a diferença é apenas pelo número de rotações completas.

Para reduzir um ângulo α, superior a 360º ou 2π, basta fazer a divisão de α por 360º ou 2π, o resto encontrado é o ângulo que representa α na primeira volta

Relação fundamental e relações auxiliares da trigonometria

Neste instante, veremos que a relação fundamental da trigonometria é uma derivação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado através do círculo trigonométrico. Dessa maneira, acompanhe a imagem que demonstra esse triângulo e a relação fundamental da trigonometria:

Conforme a figura, a relação fundamental da trigonometria é a aplicação do teorema de Pitágoras sobre o triângulo formado pelo ângulo α na circunferência de raio 1, gerando a relação sen² α + cos² α = 1.

Por outro lado, as relações auxiliares são derivadas da relação fundamental da trigonometria, para demonstrá-las basta dividir a relação fundamental por sen² α ou cos² α:

Operações com arcos

Na trigonometria, podemos realizar as operações com os arcos dentro das razões trigonométricas. Dessa forma, há as situações onde ocorre a soma, subtração, multiplicação e divisão de arcos. O que você mais precisa saber é sobre as duas primeiras operações, por isso, veja as abaixo:

Soma e subtração de arcos

Para a soma e subtração de arcos, utilizamos algumas manipulações trigonométricas com a ajuda do teorema de Pitágoras que nos diz que o seno da soma e subtração de dois arcos é:

sen (α + β) = sen α ⋅ cos β + sen β ⋅ cos α

sen (α – β) = sen α ⋅ cos β - sen β ⋅ cos α

Além disso, para o cosseno, a relação é:

cos (α + β) = cos α ⋅ cos β - sen α ⋅ sen β

cos (α - β) = cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β

Por outro lado, a tangente da soma e subtração de arcos é derivada dessas outras duas funções que resulta nas seguintes fórmula:

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