Produtos Notáveis: O que são, Propriedades e Exemplos

Produtos notáveis

Os produtos notáveis são multiplicações de fatores polinomiais e, como o próprio nome já diz, são algo que perceptível. Portanto, devemos, a partir de agora, observar todas as expressões que iremos calcular para observar os possíveis produtos notáveis que ajudarão na resolução de quaisquer exercícios. Dessa maneira, é necessário compreender os conceitos a seguir que facilitarão o seu entendimento sobre as propriedades dos produtos notáveis:

• Ao falarmos sobre quadrado, referimos a alguma base com expoente 2;
• Quando o texto conter cubo, nos referimos a alguma base com expoente 3;
• Se for comentado sobre soma, referimos a adição de dois ou mais fatores;
• Caso a diferença apareça, referimos a subtração de um fator pelo outro;
• Ao discorrer sobre produto, referimos a multiplicação de dois ou mais fatores.

Fator comum

Na grande maioria dos exercícios, que visam o entendimento de produtos notáveis, está atrelada a ideia de fatoração comum, ou fator comum. Sendo assim, neste post você entenderá como esse processo é feito para a resolução de exercícios.

Para realizar o fator comum, primeiramente são evidenciados os termos que estão em comum entre os fatores de determinada expressão e, após isso, os termos que foram evidenciados multiplicarão os fatores que restaram da expressão. Sendo assim, tome como exemplo a expressão abaixo:

3x³ + 18x³ + 12x

De acordo com a expressão, todos os seus fatores são múltiplos (veja o nosso post sobre m.m.c.) de 3x, ou seja, 3x é um termo comum a todos os fatores, consequentemente:

3x³ + 18x² + 12x = 3x.x² + 3x.6x + 3x.4

Conforme a modificação, usamos o recurso do fator comum. Para tal, devemos evidenciar o 3x e multiplicarmos pelos fatores restantes da expressão:

3x³ + 18x² + 12x = 3x(x² + 6x + 4)

Perceba que, ao multiplicar o fator em evidência pelos fatores que estão no interior dos parênteses, retornaremos para a expressão inicial.

Propriedades do produtos notáveis

Existem diversas propriedades dos produtos notáveis caso for levado em conta o Triângulo de Pascal e os Binômios de Newton, entretanto mostraremos as cinco principais:

Quadrado da Soma

Como o próprio nome já diz, é o quadrado da soma de alguma coisa, mais especificamente, é a soma de dois termos elevado ao quadrado. Dessa forma, o quadrado da soma é da forma (a + b)² ou (a + b).(a + b).

Em conclusão, ao desenvolver o quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Sendo assim, sempre que uma expressão possuir fatores da forma acima, é possível reduzi-los para (a + b)² ou (a + b).(a + b).

Exemplo:

x² + 10x + 25

Além disso, perceba que essa expressão pode ser denominada da seguinte maneira:

x² + 10x + 25 = x² + 2.x.5 + 5²

Agora ficou notável que temos um quadrado da soma, portanto:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Quadrado da Diferença

Por outro lado, temos o quadrado da diferença e, como o próprio nome nos diz também, é o quadrado da diferença de dois termos. Ou seja, a diferença de dois termos elevado ao quadrado. Dessa maneira, esse produto notável é da forma (a - b)² ou (a - b).(a - b).

Consequentemente, ao realizar a propriedade distributiva dos fatores, obtemos:

(a - b)² = a² -2.a.b + b²

Portanto, sempre que uma expressão for da forma acima, é possível reduzi-las para (a - b)² ou (a - b).(a - b).

Exemplo:

x² - 6x + 9

Ademais, a expressão pode ser exibida como:

x² - 6x + 9 = x² - 2.x.3 + 3²

Temos um quadrado da diferença, portanto:

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Produtos notáveis: diferença de Quadrados

A diferença de quadrados, de maneira análoga ao seu nome, é a subtração de dois termos que estão elevados ao quadrado. Sendo assim, ela é expressa pela forma: a² - b².

OBS: Perceba que a² - b² ≠ (a - b)².

A propósito, a diferença de quadrados é o resultado do produto entre a soma e a diferença de dois termos. Em consequência disso, temos que a² - b² = (a + b).(a - b).

Exemplo:

x² - 49

Note que 49 é 7², portanto:

x² - 49 = x² - 7²

Como temos uma diferença de quadrados, então:

x² - 49 = (x + 7).(x - 7)

Cubo da Soma

O cubo da soma é análogo ao quadrado da soma, a diferença é que a soma dos dois termos é elevado ao cubo e não ao quadrado, portanto essa propriedade é da forma (a + b)³ ou (a + b).(a + b).(a + b).

Eventualmente, pela propriedade distributiva, temos que:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Desse modo, é possível simplificar qualquer expressão da forma acima para (a + b)³ ou (a + b).(a + b).(a + b).

Exemplo:

x³ + 18x² + 108x + 216

Ainda mais, a expressão acima pode ser representada por:

x³ + 18x² + 108x + 216 = x³ + 3.x².6 + 3.x.6² + 6³

Definitivamente, temos um cubo da soma, portanto:

x³ + 18x² + 108x + 216 = (x + 6)³

Cubo da Diferença

De forma adversa, o cubo da diferença é baseado no quadrado da diferença, a disparidade ocorre em que a subtração entre os termos é elevado ao cubo e não ao quadrado, portanto, essa propriedade é da forma (a - b)³ ou (a - b).(a - b).(a - b).

Bem como utilizando a propriedade distributiva para desenvolver o cálculo, temos que:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Logo, qualquer expressão da forma acima pode ser simplificada por (a - b)³ ou (a - b).(a - b).(a - b).

Exemplo:

x³ - 9x² + 27x - 27

Ainda mais, note que a expressão pode ser exibida da seguinte forma:

x³ - 9x² + 27x - 27 = x³ - 3.x².3 + 3.x.3² - 3³

De fato, por ser um cubo da diferença, temos que:

x³ - 9x² + 27x - 27 = (x - 3)³

Exercício resolvido - Produtos Notáveis

Por fim, você verá um exemplo que fixará tudo o que você viu:

(G1 - cotuca 2020) Calcule o valor de X sabendo que a = 2020 e b = 2018.

a) 1/16

b) 1/8

c) 1/4

d) 1/2

e) 1

Resolução:

A saber que você leu o texto até aqui, a maneira mais simples de resolver a questão não é substituindo os valores de a e b na conta, a menos que você tenha uma calculadora. Dessa maneira, vamos analisar a conta abaixo por completo e notar algumas propriedades de produtos notáveis.

Perceba na equação que é a mesma coisa que , dessa forma:

Ademais, fazendo as divisões das frações a equação fica:

Note que temos um quadrado da diferença no numerador e podemos evidenciar o número 4 no denominador pois ele aparece em todos os termos:

Encontramos, no numerador, uma diferença de quadrados e, no denominador, um quadrado da soma, sendo assim:

Finalmente, chegamos a última etapa de simplificação, pois podemos eliminar o , dessa forma:

Nessa etapa, como não há mais nenhuma simplificação, substituiremos o valor de a e b na equação e resolveremos os cálculos:

Portanto a resposta final está marcada na letra D.