Associação de capacitores: em série, em paralelo, fórmulas

Associação de capacitores é uma das formas que capacitores elétricos podem aparecer em uma questão do Enem ou do vestibular daquela sua universidade do coração.

Neste post, vamos conhecer os dois tipos de associação de capacitores e como resolver questões sobre esse assunto!

O que é a associação de capacitores?

Uma associação de capacitores consiste basicamente em ligarmos dois ou mais capacitores em um mesmo circuito. A imagem abaixo representa um circuito eletrônico com vários capacitores associados.

Se você já estudou associação de resistores, a ideia é parecida, mas uma associação de capacitores tem comportamentos bem diferentes.

Capacitores em série

Quando os capacitores são ligados "lado a lado", dizemos que eles foram associados em série.

Na imagem abaixo, dois capacitores (1 e 2) estão associados em série e sendo carregados por um gerador de força eletromotriz ε.

Quando o processo de carga começa, o gerador retira elétrons da armadura esquerda do capacitor 1 (deixando-a com uma carga +Q) e introduz elétrons na armadura direita do capacitor 2 (deixando-a com uma carga -Q). ]

Na prática, o gerador não "sabe" que existem dois capacitores. É como se fosse apenas um grande capacitor, como mostrado na imagem abaixo:

A carga termina quando a diferença de potencial U entre as armaduras mais externas se iguala à força eletromotriz ε do gerador.

No final, todas as armaduras possuem uma carga total Q (com sinais alternados). Elas adquirem essas cargas por um clássico processo de eletrização: a indução eletrostática.

Dessa forma, ao final do processo, temos:

Pela imagem, podemos notar que, em uma associação de capacitores em série, os capacitores armazenam quantidades de carga Q iguais.

Além disso, perceba que a diferença de potencial U entre os terminais da associação equivale à soma das diferenças de potencial de cada capacitor: U = U₁ + U₂.

Ambas as afirmações valem para uma associação de qualquer quantidade “n” de capacitores em série.

Cálculo da capacitância equivalente em associação em série

A pergunta agora é: se substituíssemos todos os capacitores associados em série por apenas um capacitor, qual deveria ser a sua capacitância para que nenhuma característica do circuito fosse alterada?

Essa capacitância, chamada de capacitância equivalente (C_eq), pode ser calculada da seguinte forma:

Os termos C1, C2, C3, … , Cn se referem às capacitâncias dos “n” capacitores associados em série.

Em outras palavras, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em série é igual à soma dos inversos das capacitâncias individuais. Essa fórmula pode ser simplificada no caso de todos os capacitores individuais terem a mesma capacitância C:

Ou seja, nesse caso (e apenas nesse caso!), a capacitância equivalente é dada pela razão entre a capacitância C dos capacitores e o número n de capacitores em série.

Já no casos em estão ligados apenas dois capacitores com capacitâncias diferentes (C₁ e C₂), podemos fazer uso de outra simplificação da fórmula:

Por fim, é importante notar que, independentemente do número de capacitores ou dos valores de suas capacitâncias, a capacitância equivalente de uma associação em série é sempre menor do que qualquer um das capacitâncias individuais.

Se isso tudo foi familiar pra você, não é à toa: os cálculos de capacitância equivalente para uma associação de capacitores em série são idênticos aos cálculos de resistência equivalente para uma associação de resistores em paralelo.

Capacitores em paralelo

Agora, imagine que os dois capacitores (1 e 2) sejam associados em paralelo com o gerador, como mostrado na figura abaixo. Nesse caso, o que acontece com as grandezas do circuito?

A primeira coisa que podemos notar é que, após o processo de carga, a diferença de potencial U entre as placas de cada capacitor é idêntica à força eletromotriz ε do gerador. Em outras palavras: capacitores em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial, que é a força eletromotriz do gerador.

Uma diferença entre uma associação em série e em paralelo é que, na associação em paralelo, o gerador está em contato direto com todos os capacitores e efetivamente carrega todos eles, ou seja, não depende da indução eletrostática.

Por essa razão, a quantidade de cargas pode ser diferente entre os capacitores ligados. Essa quantidade vai depender das características individuais de cada um deles.

Sendo assim, após o carregamento, a carga total Q estabelecida na associação em paralelo é equivalente à soma das cargas armazenadas em cada capacitor: Q = Q₁ + Q₂.

Novamente, todas essas afirmações valem para qualquer número “n” de capacitores associados em paralelo.

Cálculo da capacitância equivalente em associação em paralelo

E agora, se substituirmos uma associação de capacitores em paralelo por um único capacitor, qual seria o valor da capacitância equivalente?

Bom, no caso da associação em paralelo, é bem mais simples: a capacitância equivalente corresponde à soma das capacitâncias individuais dos capacitores associados:

Os termos C₁ C₂, C₃, … , C_n se referem às capacitâncias dos “n” capacitores associados.

Sendo assim, se a capacitância C de todos os n capacitores for idêntica, essa fórmula se reduz a:

Note que a capacitância equivalente de uma associação em paralelo é sempre maior do que qualquer uma das capacitâncias individuais.

Fazendo novamente uma comparação com os resistores, é dessa forma que se comporta a resistência equivalente para uma associação de resistores em série.

Associação mista de capacitores

Uma associação mista de capacitores ocorre quando, em um mesmo circuito, existem capacitores ligados em série e em paralelo.

Nesses casos, não existem fórmulas gerais para analisar as capacitâncias, diferenças de potencial e quantidades de carga. Cada circuito será diferente e terá as suas particularidades.

Para resolver problemas desse tipo, é preciso dividi-los em partes, identificando onde temos associações em série e onde temos associações em paralelo, para só então utilizar as respectivas fórmulas de cada uma.

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Agora que já aprendemos as associações de capacitores e suas diferenças, bora praticar?

Exemplo 1

(Enem 2ª aplicação 2016) Um cosmonauta russo estava a bordo da estação espacial MIR quando um de seus rádios de comunicação quebrou. Ele constatou que dois capacitores do rádio de 3 μF e 7 μF ligados em série estavam queimados. Em função da disponibilidade, foi preciso substituir os capacitores defeituosos por um único capacitor que cumpria a mesma função.

Qual foi a capacitância, medida em μF, do capacitor utilizado pelo cosmonauta?

a) 0,10
b) 0,50
c) 2,1
d) 10
e) 21

Resposta: [C]
Como são apenas dois capacitores associados em série, podemos calcular a capacitância equivalente através da razão entre o produto e a soma de suas capacitâncias:

C_eq = (C₁ · C₂)/(C₁ +C₂)
C_eq = (3 · 7)/(3 + 7)
C_eq = 21/10
C_eq = 2,1 μF

Exemplo 2

(UERN 2013) O capacitor equivalente de uma associação em série, constituída por 3 capacitores iguais, tem capacitância 2 μF. Utilizando-se 2 destes capacitores para montar uma associação em paralelo, a mesma apresentará uma capacitância de

a) 3μF
b) 6μF
c) 12μF
d) 18μF

Resposta: [C]
Na situação dos capacitores associados em série, como 3 capacitores iguais resultam em uma capacitância equivalente de 2 μF, podemos usar a seguinte relação para calcular a capacitância individual:
C_eq = C/n
2 = C/3
C = 2 · 3
C = 6 μF
Agora, para determinar a capacitância equivalente de dois capacitores em paralelo, basta somar as capacitâncias:
C_eq = 6 + 6 = 12 μF