Questão 169 da prova amarela do 2º dia do Enem 2025; veja as questões correspondentes

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.

O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

A) Artur, com probabilidade de \(\dfrac{2}{3}\)
B) João, com probabilidade de \(\dfrac{4}{9}\)
C) Artur, com probabilidade de \(\dfrac{91}{216}\)
D) João, com probabilidade de \(\dfrac{91}{216}\)
E) Artur, com probabilidade de \(\dfrac{125}{216}\)

Questões correspondentes

Prova Azul: 178

Prova Branca: 176

Prova Verde: 172

Resolução da questão

Gabarito E

1. Situação do jogo:

• Artur joga 2 dados e fica com o maior número dos dois.

• João joga 1 dado.

• Comparação: se maior de Artur > número de João → Artur vence; senão → João vence (inclui empate).

2. Vamos calcular a probabilidade de João vencer.

João vence se o maior dos dois dados de Artur for menor ou igual ao resultado de João.

Vamos supor que João tirou o número x.

3. Para um \( x \) fixo:

A probabilidade de ambos os dados de Artur serem ≤ \( x \) é:

\(\left( \frac{x}{6} \right)^2\)

Pois cada dado tem x resultados possíveis (de 1 a x) em 6 totais.

Exemplo:
- Se x = 4, probabilidade de os dois dados ≤ 4 é \(\left( \dfrac{4}{6} \right)^2 = \dfrac{16}{36}\).

4. Agora, considerando todos os valores possíveis de \( x \):

Cada valor de x (1 a 6) tem probabilidade \(\dfrac{1}{6}\) de ocorrer no dado de João.

Então:

\(P(\text{João vencer}) = \dfrac{1}{6} \left[ \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{2}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{3}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{4}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{5}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{6}{6} \right)^2 \right]\)

5. Cálculo:

\(=\dfrac{1}{6} \left[ \dfrac{1}{36} + \dfrac{4}{36} + \dfrac{9}{36} + \dfrac{16}{36} + \dfrac{25}{36} + \dfrac{36}{36} \right]\)

Soma do numerador: \(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91\).

Então:

\(P(\text{João vencer}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{91}{36} = \dfrac{91}{216}\)

6. Probabilidade de Artur vencer:

\(P(\text{Artur vencer}) = 1 - \dfrac{91}{216} = \dfrac{125}{216}\)

7. Comparação:

\(\dfrac{125}{216} > \dfrac{91}{216}\)

Artur tem maior chance.

8. Alternativa correta:

E) Artur, com probabilidade de \(\dfrac{125}{216}\).