Questão 159 da prova amarela do 2º dia do Enem 2025; veja as questões correspondentes

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo

\(D=k+tg[p(T+m)]\)

sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.

 

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

A) \(D=2,5+tg\left[ 30 \left( T-\frac{5-2 \pi}{2} \right) \right]\)
B) \(D=4+tg\left[ 30 \left( T+\frac{5}{2} \right) \right]\)
C) \(D=4+tg\left[ 2,5 \left( T+\frac{5+2 \pi}{2} \right) \right]\)
D) \(D=30+tg\left[ \dfrac{1}{2} \left( T-5 \right) \right]\)
E) \(D=30+tg\left[ \dfrac{1}{2} \left( T-\frac{5}{2} \right) \right]\)

Questões correspondentes

Prova Azul: 160

Prova Branca: 155

Prova Verde: 164

Resolução da questão

Gabarito: E

A função é do tipo \(D=k+tg\left[ p \left( T+m \right) \right]\). As assíntotas verticais da tangente ocorrem quando seu argumento é \(\pm \frac{\pi}{2} + n\pi\). No gráfico, as assíntotas de D estão em \(T=\frac{5-2\pi}{2}\) e \(T=\frac{5+2\pi}{2}\)​. A distância entre assíntotas consecutivas é \(\frac{\pi}{\left| p \right|}\)​. Pela figura, essa distância é

\(\frac{5+2\pi}{2}-\frac{5-2\pi}{2}=\frac{4\pi}{2}=2\pi\)

Logo, \(\frac{\pi}{\left| p \right|}=2\pi\Rightarrow \left| p \right|=\frac{1}{2}\)​. Como o gráfico é crescente, \(p =\frac{1}{2}\)​. Agora, use uma das assíntotas, por exemplo \(T=\frac{5-2\pi}{2}\):

\(p\left( T+m \right)=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}\left( \frac{5-2\pi}{2}+m \right)=-\frac{\pi}{2}\).

Multiplicando por 2:

\(\frac{5-2\pi}{2}+m=-\pi\Rightarrow m=-\pi-\frac{5-2\pi}{2}=-\frac{5}{2} \).

Então \(T+m=T-\frac{5}{2}\), e o argumento é \(\frac{1}{2}\left( T-\frac{5}{2} \right)\). Pelo gráfico, em \(T=2,5\)  (ou \(T=\dfrac52\)​), temos \(D=30\). Como \(tg(0)=0\),

\(D(2,5)=k+tg\left[ \frac{1}{2}\left( 2,5-\frac{5}{2} \right) \right]=k+tg(0)=k\).

Logo, \(k=30\). Portanto,

\(D=30+tg\left[ \frac{1}{2}\left( T-\frac{5}{2} \right) \right]\).