Questão 176 da prova amarela do 2º dia do Enem 2025; veja as questões correspondentes

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosferas, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

\(P = 4 · log\left[–K · (t + 1) · (t – 19)\right]\)

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para K é

A) \(10^{0,5}\)
B) \(10^8\)
C) \(10^{\frac{2,5}{84}}\)
D) \(10^{\frac{2,5}{99}}\)
E) \(25 \times 10^{-2}\)

Questões correspondentes

Prova Azul: 172

Prova Branca: 169

Prova Verde: 179

Resolução da questão

Gabarito A

Com \(K\gt0\). No intervalo de uso \(0 \le t \le 10\):

\(t+1 \gt 0\\ t-19 \lt 0\)

Logo, \(\left(t+1\right)\left(t-19\right) \lt 0\) e

\(-K(t+1)(t-19) = K\big(-t^2 + 18t + 19\big)\)

Então:

\(P(t) = 4\log\big(K\left(-t^2+18t+19\right)\big)\)

O fabricante exige:

\(P(t) \le 10 \ \text{para todo }\ 0 \le t \le 10\)

Onde a pressão é máxima?

Como o logaritmo é crescente, a pressão é máxima quando o fator

\(Q(t) = -t^2 + 18t + 19\)

é máximo no intervalo \(\left[0,10\right]\).

Q(t) é uma parábola côncava (coeficiente de (\(t^2\)) negativo).
O vértice ocorre em:
\(t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2(-1)} = 9\)

Como \(9 \in \left[0,10\right]\), o máximo de (Q) no intervalo ocorre em (t=9).
\(Q(9) = -(9^2) + 18\cdot 9 + 19 = -81 + 162 + 19 = 100\)

Logo, a maior pressão no período de 10 horas ocorre em (t=9) e é:
\(P_{\max} = 4\log(100K)\)

Aplicando a condição de segurança

Para respeitar o limite de 10 atm:
\(4\log(100K) \le 10\)
\(\log(100K) \le \frac{10}{4} = 2{,}5\)
\(100K \le 10^{2{,}5}\)
\(K \le \frac{10^{2{,}5}}{10^2} = 10^{0{,}5}\)

O maior valor possível de (K) que mantém a pressão abaixo de 10 atm em todo o intervalo de 10 horas é:
\(\boxed{K = 10^{0{,}5}}\)